TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Optellen en aftrekken van breuken

Als je breuken wilt optellen of aftrekken kan dat eigenlijk alleen als de noemers van de breuken allen gelijk zijn. Denk aan de metafoor van de appels. Een som als \displaystyle\frac{3}{2}+\displaystyle\frac{5}{2} komt overeen met "3 halve appels plus 5 halve appels". Dit zijn dus 8 halve appels. De rekenregel is dus

\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.
Voor aftrekken geldt de vergelijkbare regel
\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}.

Als de noemers niet gelijk zijn moet je ze eerst gelijknamig maken. Bij gelijknamig maken doe je eigenlijk het omgekeerde van vereenvoudigen, je vermenigvuldigt de teller en noemer van beide breuken met een gechikt getal.

De meest directe methode om breuken gelijknamig te maken staat bekend als "kruislings vermenigvuldigen": neem als factor de noemer van de andere breuk. Stel je wilt \frac{5}{3}+\frac{2}{7} uitrekenen. Vermenigvuldig dan teller en noemer van 5/3 met 7 en vermenigvuldig teller en noemer van 2/7 met 3:

\frac{5}{3}+\frac{2}{7}=\frac{5\cdot7}{3\cdot7}+\frac{2\cdot3}{7\cdot3}=\frac{35}{21}+\frac{6}{21}= \frac{35+6}{21}=\frac{41}{21}.
De methode van hierboven kun je ook in formulevorm beschrijven:
\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}= \frac{ad+bc}{bd}.
De teller ad+bc verklaart de naam "kruislings vermenigvuldigen": als je in de oorspronkelijke som a met een lijntje verbindt met d, en als je b met c verbindt, krijg je en kruis.

Het volstaat om als nieuwe noemer van de gelijknamig gemaakte breuken een veelvoud van beide oorspronkelijke noemers te nemen. Het zuinigst is om het kleinste gemene veelvoud van de noemers te nemen. Neem bijvoorbeld 60 en 72, dan geldt {\rm kgv}(60,72)=360=6\cdot60=5\cdot72, dus

\frac{1}{60}-\frac{1}{72}=\frac{1\cdot6}{60\cdot6}-\frac{1\cdot5}{72\cdot5}=\frac{6}{360}-\frac{5}{360}= \frac{6-5}{360}=\frac{1}{360}.
Als je kruisling zou hebben vermenigvuldigd, zou als noemer 60\times72=4320 hebben gekregen. Het eindresultaat levert dan een breuk die je nog moet vereenvoudigen. Het is niet fout om het zo te doen, het levert wel meer rekenwerk.

Voorbeeld

Sommen met meer dan twee breuken kun je in één keer uitrekenen:

\frac{1}{6}-\frac{1}{12}+\frac{1}{15}= \frac{10}{60}-\frac{5}{60}+\frac{4}{60}= \frac{10-5+4}{60}= \frac{9}{60}= \frac{3}{20}.

Voorbeeld

Als je een geheel getal optelt bij een breuk maak je van het gehele getal kunstmatig een breuk door te delen door 1:

\frac{22}{5}-4= \frac{22}{5}-\frac{4}{1}= \frac{1\cdot22}{1\cdot5}-\frac{4\cdot5}{1\cdot5}= \frac{22-20}{5}=\frac{2}{5}.
Het kan natuurlijk sneller:
\frac{22}{5}-4= \frac{22}{5}-\frac{4\cdot5}{5}= \frac{22-20}{5}=\frac{2}{5}.