TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Gehele machten

Definitie

Voor ieder getal a en voor ieder positief geheel getal k is de k-de macht van a gedefinieerd als

a^k=\overbrace{a\times a\times\cdots\times a}^{\displaystyle k\;\rm{keer}}.

Het getal a heet het grondtal, en het getal k heet de exponent. De k-de macht is dus het product van k factoren a. Dit heeft alleen zin als k>0. Voor exponenten kleiner of gelijk 0 maken we de volgende afspraak:

a^0=1.
a^k=\frac{1}{a^{-k}}\quad{\rm als }\;k<0.

Eigenschappen

Voor alle grondtallen a en b en alle gehele exponenten m en n geldt:

a^m\cdot a^n=a^{m+n},
a^m/a^n=a^{m-n},
\left(a^m\right)^n=a^{mn},
(ab)^n=a^n b^n
  • (a/b)^n=a^n/ b^n

    Voorbeeld

    7^{12}\times7^{-12}=7^{12-12}=7^0=1.
    Dit voorbeeld verklaart meteen waarom het handig is om 7^{-12} te definiëren als 1/7^{12}.

    Voorbeeld

    (1/12)^{-1}= (12^{-1})^{-1}= 12^{-1\times-1}= 12^1= 12.
    In het algemeen geldt:
    \left(\frac{1}{a}\right)^{-1}=\frac{1}{a^{-1}}=a.

    Voorbeeld

    6^{-2}(1/12)^{-1}= \frac{1}{6^2}\times12= \frac{1}{36}\times12= \frac{12}{36}=\frac{1}{3}.

    Voorbeeld

    (\sqrt{3})^3(\sqrt{3})^5= (\sqrt{3})^{3+5}= (\sqrt{3})^8= (\sqrt{3})^{2\cdot4}= ((\sqrt{3})^2)^4= 3^4= (3^2)^2= 9^2= 81.