TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Wortels van gehele getallen

Definitie

De wortel van een reëel getal a>0 is het reële getal w\geq0 waarvoor geldt dat w^2=a. Je noteert de wortel van a als \sqrt{a}.

De wortel van 9 is 3, want 3^2=3\times3=9. Ook geldt dat (-3)^2=9, maar de definitie kiest altijd de niet-negatieve oplossing, dus \sqrt{9}=3.

Het getal 12 geen kwadraat van een geheel getal. Dit betekent dat \sqrt{12} geen geheel getal is. Omdat 12 tussen de kwadraten 9=3^2 en 16=4^2 in ligt betekent dit dat 3<\sqrt{12}<4. Dat zie je ook als je \sqrt{12} berekent met de rekenmachine, deze geeft als resultaat 3.464102. Dit is een benadering, want \sqrt{12} is geen rationaal getal. Wortels van getallen die niet het kwadraat zijn van een geheel getal zijn nooit rationaal.

Voor wortels gelden de volgende rekenregels:

\left(\sqrt{a}\right)^2=a
\sqrt{a^2}=|a|
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Merk op dat in regel 1 uit de notatie \sqrt{a} impliciet volgt dat a>0. In regel 2 echter kan a negatief zijn, vandaar de absolute waarde in het rechterlid.

Hoewel \sqrt{12} niet geheel is kun je het wel anders schrijven: \sqrt{12} kun je met behulp van de rekenregels als volgt herleiden:

\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{4}\sqrt{3}=\sqrt{2^2}\sqrt{3}=|2|\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Deze berekening noemen we factoren buiten het wortelteken halen. Bij \sqrt{3} kunnen geen gehele factoren meer buiten het wortelteken worden gehaald.

Definitie

De wortel van een positief geheel getal a heet onvereenvoudigbaar als a geen deler heeft die het kwadraat is van een geheel getal groter dan 1.

De wortel van een positief geheel getal staat in standaardvorm als deze is herleid tot een geheel getal, of tot de vorm b\sqrt{c}, waarbij b een positief geheel getal is en \sqrt{c} onvereenvoudigbaar.

Een wortel staat dus in standaardvorm als er geen gehele factoren meer uit het wortelteken kunnen worden gehaald. Als de wortels groot worden kun je het beste gebruik maken van de priemfactorontbinding. Voor iedere factor p^e in de ontbinding doe je het volgende:

Als b=1 schrijven we gewoon \sqrt{c} in plaats van 1\sqrt{c}.

Voorbeeld

De standaardvorm van \sqrt{9} is 3.

Voorbeeld

De standaardvorm van \sqrt{12} is 2\sqrt{3}.

Voorbeeld

Bereken de standaardvorm van \sqrt{5760}.

De priemfactorontbinding van 5760 is 2^7\cdot3^2\cdot5. De standaardvorm is

\sqrt{5760}=\sqrt{2^7\cdot3^2\cdot5}=2^3\cdot3\sqrt{2\cdot5}=24\sqrt{10}.