TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Wortels van rationale getallen

Stelling

Voor ieder reëel getal b>0 geldt \sqrt{\displaystyle\frac{1}{b}}=\displaystyle\frac{1}{b}\sqrt{b}.

Deze eigenschap volgt eenvoudig uit de rekenregels:

\sqrt{\frac{1}{b}}= \sqrt{\frac{b}{b\cdot b}}= \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b^2}}= \frac{\sqrt{b}}{|b|}= \frac{\sqrt{b}}{b}= \frac{1}{b}\sqrt{b}

Uit deze eigenschap leid je eenvoudig de volgende rekenregel af:

\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{1}{b}\sqrt{ab}
Door \sqrt{ab} op de standaardvorm c\sqrt{d} te brengen kun je de wortel als volgt herleiden
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{c}{b}\sqrt{d}.
De breuk c/b is mogelijk te vereenvoudigen. De vereenvoudigde schrijfwijze waar je dan mee eindigt noemen we weer de standaardvorm van de wortel.

Definitie

De wortel van een positieve breuk staat in standaardvorm als deze is herleid tot een onvereenvoudigbare breuk, een onvereenvoudigbare wortel of het product van een onvereenvoudigbare breuk en een onvereenvoudigbare wortel.

Voorbeeld

\sqrt{\frac{2}{3}}= \sqrt{\frac{2\cdot3}{3\cdot3}}= \frac{1}{3}\sqrt{6}.

Voorbeeld

Probeer breuken onder het wortelteken eerst te vereenvoudigen.

\sqrt{\frac{120}{56}}= \sqrt{\frac{8\cdot15}{8\cdot7}}= \sqrt{\frac{15}{7}}= \frac{1}{7}\sqrt{15\cdot7}= \frac{1}{7}\sqrt{105}.
Als je niet eerst vereenvoudigt krijg je:
\sqrt{\frac{120}{56}}= \frac{1}{56}\sqrt{120\cdot56}= \frac{1}{56}\sqrt{6720}.
Het op standaardvorm brengen van \sqrt{6720} kost meer rekenwerk dan het op standaardvorm brengen van \sqrt{105}. Sterker nog: \sqrt{105} is al op standaardvorm.

Voorbeeld

De regel "\sqrt{a/b}=1/b\times\sqrt{ab}" werkt niet altijd even prettig. Als je \sqrt{1/512} op standaardvorm wilt te brengen kun je beter als volgt te werk gaan. Ontbind de noemer:

\sqrt{\frac{1}{512}}= \sqrt{\frac{1}{2^9}}.
Van de noemer 2^9 kun je een kwadraat maken door teller en noemer met 2 te vermenigvuldigen, immers 2^{10}=(2^5)^2=32^2:
\sqrt{\frac{1}{512}}= \sqrt{\frac{1}{2^9}}= \sqrt{\frac{2}{2^{10}}}= \sqrt{\frac{2}{32^2}}= \frac{1}{32}\sqrt{2}.