TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Hogeremachtswortels in standaardvorm

Definitie

Zij n een geheel getal met n\geq2. De n-demachtswortel van een reëel getal a is het getal w waarvoor geldt dat w^n=a. De n-demachtswortel van a wordt genoteerd als \sqrt[n]{a}.

Als n even is moet a\geq0 gelden, en de afspraak is dat ook \sqrt[n]{a}\geq0. Dus \sqrt[4]{16}=2 want 2^4=16, en \sqrt[4]{-16} is niet gedefinieerd, want er zijn geen reële getallen w waarvoor w^4=-16.

Als n oneven is kan a negatief zijn. In dat geval is \sqrt[n]{a} ook negatief. Dus \sqrt[3]{8}=2 want 2^3=8, en \sqrt[3]{-8}=-2 want (-2)^3=-8.

Als n=2 krijg je de gewone `wortel', ook wel de vierkantswortel genoemd. In de notatie laten we het 2-tje doorgaans weg, dus \sqrt{a} in plaats van \sqrt[2]{a}.

Voor hogeremachtswortels gelden vergelijkbare regels als voor gewone (vierkants)wortels:

\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=a
\sqrt[n]{a^n}=|a|
als n even is
\sqrt[n]{a^n}=a
als n oneven is
\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}
\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

Hogeremachtswortels van rationale getallen kun je, net als vierkantswortels, op standaardvorm brengen.

Definitie

De n-demachtswortel van een geheel getal a heet onvereenvoudigbaar als a geen deler heeft die de n-demacht is van een geheel getal groter dan 1.

De n-demachtswortel van een positief geheel getal staat in standaardvorm als deze is herleid tot een geheel getal, of tot de vorm b\sqrt[n]{c}, waarbij b een positief geheel getal is en \sqrt[n]{c} onvereenvoudigbaar.

De n-demachtswortel van een breuk staat in standaardvorm als deze is herleid tot een onvereenvoudigbare breuk, een onvereenvoudigbare n-demachtswortel of het product van een onvereenvoudigbare breuk en een onvereenvoudigbare n-demachtswortel.

Voor het op standaardvorm brengen van de hogeremachtswortel van een breuk kun je de volgende strategie hanteren:

  1. Vereenvoudig de breuk zoveel mogelijk.
  2. Vermenigvuldig de noemer met een factor zodat een n-demacht van een geheel getal ontstaat, maar kies deze factor zo klein mogelijk.
  3. Haal de n-de machten uit het wortelteken.

Bij deze strategie is het vaak handig om de getallen te ontbinden in (priem)factoren.

Voorbeeld

Het getal \sqrt[3]{3} is onvereenvoudigdbaar, want 3 is alleen deelbaar door 1 en 3, en beide zijn geen derdemachten groter dan 1.

Voorbeeld

Het getal \sqrt[3]{24} is niet onvereenvoudigdbaar, want 24=8\times3=2^3\cdot3, dus

\sqrt[3]{24}=\sqrt[3]{2^3}\sqrt[3]{3}=2\sqrt[3]{3}
Dit is gelijk ook de standaardvorm, want \sqrt[3]{3} is onvereenvoudigbaar.

Voorbeeld

Breng \sqrt[3]{162/40} op standaardvorm.

We beginnen met teller en noemer te ontbinden in factoren: 162=2\cdot3^4 en 40=2^3\cdot5.

\sqrt[3]{\frac{162}{40}}= \sqrt[3]{\frac{2\cdot3^4}{2^3\cdot5}}
Eerst vereenvoudigen we de breuk (teller en noemer hebben een gemeenschappelijke factor 2):
\ldots= \sqrt[3]{\frac{3^4}{2^2\cdot5}}.
De noemer wordt een derdemacht door deze te vermenigvuldigen met 2\cdot5^2. De teller moet je hier dus ook mee vermenigvuldigen:
\ldots= \sqrt[3]{\frac{2\cdot3^4\cdot5^2}{2^3\cdot5^3}}
Nu halen we alle derdemachten uit het wortelteken:
\ldots= \sqrt[3]{\frac{2\cdot3^4\cdot5^2}{2^3\cdot5^3}}
\ldots= \sqrt[3]{\frac{2\cdot3^3\cdot3\cdot5^2}{2^3\cdot5^3}}= \frac{3}{2\cdot5}\sqrt[3]{2\cdot3\cdot5^2}= \frac{3}{10}\sqrt[3]{150}.
Conclusie: de standaardvorm van \sqrt[3]{\frac{162}{40}} is \frac{3}{10}\sqrt[3]{150}.