TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Gebroken machten

Definitie

Als a een positief reëel getal is en \frac{m}{n} een breuk met n>1, dan definiëren we

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}.

Als a een positief reëel getal is en r een positief rationaal getal, dan definiëren we

a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},
als r=\frac{m}{n}.

Het probleem met rationale getallen is dat je ze op meer manieren kunt schrijven als breuk: \frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{10}{20} etcetera. De definitie van de r-demacht is echter niet afhankelijk van de schrijfwijze van r als breuk. Er geldt namelijk

a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{km}{kn}}
voor alle positieve gehele getallen k. Stel A=a^{\frac{m}{n}}, dan
A^{kn}= \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{kn}= \sqrt[n]{a^m}^{kn}= \left(\sqrt[n]{a^m}^n\right)^k= \left(a^m\right)^k= a^{km},
dus a^{\frac{m}{n}}=A=\sqrt[kn]{a^{km}}=a^{km/kn}.

Eigenschappen

Voor rationale machten gelden de volgende rekenregels:

a^r\cdot a^s=a^{r+s}
\displaystyle\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}
(a^r)^s=a^{rs}
(ab)^r=a^rb^r
\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^r=\displaystyle\frac{a^r}{b^r}

Hierbij zijn a en b positieve reële getallen, en r en s rationale getallen.

Voorbeeld

Bereken 8^{2/3}.

Met de definitie:

8^\frac{2}{3}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^3}=4.

Met de rekenregels:

8^\frac{2}{3}= (2^3)^\frac{2}{3}= 2^{3\times\frac{2}{3}}= 2^2=4.

Voorbeeld

Schrijf 2^{-\frac{1}{2}} in standaardvorm.

2^{-\frac{1}{2}}= 2^{\frac{-1}{2}}= \sqrt[2]{2^{-1}}= \sqrt{\frac{1}{2}}= \frac{1}{2}\sqrt{2}.

Voorbeeld

Schrijf \displaystyle\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}} in standaardvorm.

Schrijf de wortels om tot rationale machten, en herleid alles tot machten van 3:

\frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt{3}}= 9^\frac{1}{3}\cdot3^{-\frac{1}{2}}= 3^\frac{2}{3}\cdot3^{-\frac{1}{2}}= 3^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}= 3^{\frac{4}{6}-\frac{3}{6}}= 3^{\frac{1}{6}}= \sqrt[6]{3}.