TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Arcsinus, arccosinus en arctangens

Op het interval [-\pi/2,\pi/2] is de sinus een strict stijgende fucntie en worden alle waarden tussen -1 en 1 aangenomen. Dit betekent dat de sinus als functie van [\pi/2,\pi/2] naar [-1,1] een inverse heeft:

De grafiek van de sinus en (gespiegeld) de arcsinus.
Definitie

Bij elke y\in [-1,1] is er precies één x\in [-\pi/2,\pi/2] met

\sin(x)=y.
Deze unieke x geven we aan met \arcsin (y).

De afbeelding \arcsin: [-\pi/2,\pi/2]\rightarrow [-1,1] heet de arc- of boogsinus.

De grafiek van \arcsin is uit de grafiek van de sinus te verkrijgen, door deze in de lijn y=x te spiegelen.

De grafieken van arccos en arctan

Evenzo kunnen we op het interval [0,\pi] voor de cosinus een inversefunctie vinden de arccosinus, notatie \arccos.

De tangens heeft een inverse, \arctan, op het open interval (-\pi/2,\pi/2).

Definitie

Voor elke y\in [-1,1] is er een unieke x\in [0,\pi] met \cos (x)=y. Deze x geef je aan met

x=\arccos y.

Voor elke y\in\mathbb{R} is er een unieke x\in(-\pi/2,\pi/2) met \tan( x)=y. Deze x geef je aan met

x=\arctan y.

Voorbeeld

Voorbeeld

Op het interval [-\pi/2,\pi/2] is de sinus stijgend, maar dna moet de functie \arcsin ook stijgend zijn.

Inderdaad, als -1\leq y_1< y_2\leq 1 en x_1,x_2\in [-\pi/2,\pi/2] met \sin(x_1)=y_1< \sin(x_2)=y_2, dan is ook x_1< x_2.