TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Hoeken en Driehoek

Beschouw de driehoek ABC met zijden a,b,c en hoeken \alpha, \beta en \gamma. De hoogtelijn h vanuit het punt C op de zijde c heeft lengte

|h|=|b|\sin\alpha=|a|\sin\beta.
Gebruikmakend van de hoogtelijn uit A vind je af dat
|b|\sin\gamma=|c|\sin\beta.
Hieruit leid je de sinusregel af

Definitie (Sinusregel)

\frac{|a|}{\sin\alpha}=\frac{|b|}{\sin\beta}=\frac{|c|}{\sin\gamma}.

Driehoek ABC.
In de rechthoekige driehoeken ACD en BCD kunnen we de stelling van Phytagoras toepassen. We vinden:
|b|^2=|AD|^2+|DC|^2
|a|^2=|BD|^2+|DC|^2
en dus
|a|^2-|b|^2=
|BD|^2-|AD|^2.
Maar
|BD|^2-|AD|^2=
(|AD|+|DB|)^2-2|AD|(|DB|+|AD|)=
(|AD|-|DB|)^2-2|AD|(|AD|-|BD|)=
(-|AD|+|DB|)^2-2|AD|(|DB|-|AD|)
Afhankelijk van de ligging van D op de lijn AB geldt |c|=|AD|+|DB|,|c|=|AD|-|DB| of |c|=-|AD|+|DB|. Verder is |AD|=b\cos\alpha. In alle gevallen vinden we
|a|^2-|b|^2=
|c|^2-2|b|\cos(\alpha)\cdot |c|.
Dit leidt tot
Definitie (Cosinusregel)

|a|^2=|b|^2+|c|^2-2|b||c|\cos \alpha.

Voorbeeld

De gulden snede in een pentagram.

De gulden snede, vaak aangegeven met de griekse letter \phi (of ook wel \tau) is een bekend getal, dat in allerlei literatuur en kunst terug komt.

De gulden snede is bijvoorbeeld gelijk aan de verhouding \frac{a}{b}, waar a en b de lengten zijn van zijden uit een driehoek in een pentagram.

Een vijfhoek is op te delen in drie drehoeken. Hieruit kun je eenvoudig berekenen, dat de som van de hoeken in een vijfhoek gelijk is aan 540^\circ.

Maar dan is de hoek \beta gelijk aan 180-108=72^\circ, oftewel \frac{2\pi}{5} radialen. De hoek \alpha is dus \frac{\pi}{5} radialen.

Uit de sinusregel halen we nu dat

\frac{\sin(\pi/5)}{b}=\frac{\sin(2\pi/5)}{a}= \frac{2\sin(\pi/5)\cos(\pi/5)}{a}.

Dus

\phi=\frac{a}{b}={2\cos(\pi/5)}.

Uit de cosinusregel volgt

2a^2\cos(\pi/5)=2a^2-b^2,
oftwel
\phi=2-\frac{1}{2\phi^2}.

Dus \phi^3-2\phi^2+1=(\phi-1)(\phi^2+\phi-1)=0. aangezien \phi> 1, is \phi dus gelijk aan \frac{\sqrt{5}-1}{2}.