TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De sinus en cosinus

Zij C de cirkel met straal 1 en middelpunt in de oorsprong. Bij elke draaiingshoek \alpha hoort een punt A op de cirkel, dat verkregen wordt door het punt (1,0) over een hoek \alpha (in graden of radialen) om de oorsprong te draaien. Hierbij is een draaiing over een positieve hoek een draaing tegen de klok in, en een draaiing over een negatieve hoek met de klok mee. De waarde van de x-coördinaat van A is de cosinus van \alpha (notatie \cos \alpha) de waarde van de y-coördinaat van A is de sinus van \alpha (notatie \sin \alpha).

Construeer de grafiek van de sinus.
Eigenschappen Uit de definitie van de cosinus en sinus volgt onmiddelijk:
\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha=1
\cos (\alpha+2k\pi )=\cos \alpha
\sin (\alpha+2k\pi)=\sin \alpha
\sin -\alpha=\sin \alpha
\cos -\alpha=-\cos\alpha
\cos (\pi-\alpha)=-\cos\alpha
\sin (\pi-\alpha)=\sin\alpha
\sin (\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos(\alpha)
Speciale waarden
0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}
\sin 0 \frac{1}{2} \frac{1}{2}\sqrt{2} \frac{1}{2}\sqrt{3} 1
\cos 1 \frac{1}{2}\sqrt{3} \frac{1}{2}\sqrt{2} \frac{1}{2} 0
Voorbeeld

Voor welke \alpha geldt dat \sin \alpha=\frac{1}{2}?

De horizontale lijn y=\frac{1}{2} snijdt de cirkel C met straal 1 en middelpunt in de oorsprong in twee punten: (-\frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2}) en (\frac{\sqrt{3}}{2} , \frac{1}{2}). De bijbehorende hoeken zijn \alpha=\frac{5\pi}{6} en \alpha=\frac{\pi}{6}. Maar dan verschillen alle oplossingen van de vergelijking \sin \alpha=\frac{1}{2} een veelvoud van 2\pi van een van deze twee oplossingen. We vinden dus

\alpha\in \{\frac{5\pi}{6}+2k\pi\mid k\in \mathbb{Z}\}\cup\{\frac{\pi}{6}+2k\pi\mid k\in \mathbb{Z}\}

Voorbeeld

Wat is \cos(\frac{31\pi}{6})?

Er geldt: \frac{33\pi}{6}=6\pi-\frac{5\pi}{6}. Dus \cos(\frac{31\pi}{6})=\cos(-\frac{5\pi}{6})=\cos(\frac{5\pi}{6})=-\cos(\pi-\frac{5\pi}{6}).

Dus \cos(\frac{31\pi}{6})=-\cos(\frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}\sqrt{3}.

Voorbeeld

Voor welke waarden van \alpha is \sin\alpha maximaal?

De waarde van \sin\alpha is maximaal 1, en deze wordt aangenomen voor \alpha=\frac{\pi}{2}+2k\pi, waarbij k\in \mathbb{Z}.