TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Som- en dubbelhoekformules

De dubbele hoek formules.

Stel \alpha en \beta zijn twee reële getallen. Voor de cosinus, sinus en tangens gelden de volgende formules.

\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta

Vervang je \beta door -\beta, dan vind je

\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta
\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.

Stel je \beta gelijk aan \alpha, dan levert dat
\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha
\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1
\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha
\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha.
Voorbeeld

Hoe kun je nu \cos(\frac{\pi}{12}) exact bepalen?

Stel \alpha=\frac{\pi}{12}. Dan geldt \cos 2\alpha=\cos(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt{3}}{2}. Verder weet je dat

\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1.

Je leidt nu af dat

\cos^2\alpha=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}
en concludeert dat
\cos\alpha=\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+1}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{3}+2}{4}}.
(Immers, \cos\alpha> 0.)