De tangens

De tangens van een hoek \alpha.

De coördinaten van een punt A op de C de cirkel met straal 1 en middelpunt in de oorsprong O worden gegeven door (\cos\alpha,\sin\alpha), waarbij \alpha de hoek \angle BOA is, waarbij B=(1,0). De richtingscoëfficiënt van de lijn OA is gelijk aan \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, tenzij \cos \alpha=0 oftewel, tenzij \alpha=\frac{\pi}{2} \text{mod} \pi.

De functie die aan elke (hoek) \alpha\neq\frac{\pi}{2} \text{mod} \pi het quotient

\tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} toekent, heet de tangens.

Voor de tangens geldt

\tan(-\alpha)=-\tan (\alpha) \tan(\alpha+\pi)=\tan (\alpha)

De grafiek van de tangens met zijn asymptoten.

Speciale waarden

	0	\frac{\pi}{6}	\frac{\pi}{4}	\frac{\pi}{3}	\frac{\pi}{2}
\tan	0	\frac{\sqrt{3}}{3}	1	\sqrt{3}	niet gedefinieerd

Voorbeeld

Voor alle \alpha\neq \frac{\pi}{2}\text{mod} \pi geldt

\tan^2 \alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}-1.

Inderdaad,

\tan^2 \alpha =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} =\frac{1}{\cos^2\alpha}-1.

Voorbeeld

Wat is de vergelijking van een rechte door het punt (3,1) die een hoek van 30^\circ met de x-as maakt?

Neem aan dat de vergelijking van de lijn gelijk is aan

y=rx+s, met r,s\in \mathbb{R}. Dan is de richtingscoëfficiënt r gelijk aan r=\tan(30^\circ)=\tan(\pi/6)=\frac{\sqrt{3}}{3}. Invullen van het punt (3,1) in de vergelijking leert ons dat 1=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}+s waaruit volgt dat s= 1-\sqrt{3}.

De vergelijking van de rechte is dus

y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+1-\sqrt{3}.