TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Riemann sommen

Op deze pagina lichten we toe wat je moet verstaan onder ``oppervlakte'' van een gebied. Als een gebied rechthoekig is, kan je de oppervlakte eenvoudig uitrekenen met de rechthoek regel:

De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan zijn lengte maal zijn breedte.

Als een gebied niet rechthoekig van vorm is kun je deze regel niet gebruiken.

Hier zie je een voorbeeld van een gebied dat de vorm heeft van een rechthoek met twee gaten er in. Dit gebied kan je opdelen in rechthoekige stukken, en dan kan je de oppervlakte daarvan bepalen door van iedere rechthoek de oppervlakte uit te rekenen (met de ``lengte maal breedte'' regel), en dan alle resultaten bij elkaar op te tellen.

We hebben het gebied opgedeeld in zeven stukken. Je kunt de oppervlakte van het gebied natuurlijk met minder stappen bepalen (hoe?), maar daar gaat het hier niet om. Waar het ons om gaat is dat we gebruik hebben gemaakt van de samenstellingsregel:

De oppervlakte van een gebied is gelijk aan de som van de oppervlakten van de delen.
Belangrijk is dat de delen elkaar niet overlappen, anders gaat de regel niet op.

Als een gebied niet is op te delen in rechthoeken, zoals een cirkel, dan moet je meer moeite doen om de oppervlakte te bepalen. Eén van de technieken die je kunt gebruiken is het benaderen van de oppervlakte met behulp van een gebied dat wel op te delen is in rechthoeken. Dit principe vormt de grondslag van de Riemann som. Hiertoe bekijken we niet alle gebieden, maar alleen gebieden met een speciale vorm, namelijk gebieden die worden begrensd door de grafiek van een functie.

De oppervlakte onder de grafiek van f.

Gegeven is een continue functie f(x) gedefinieerd op een interval [a,b]. We zijn ge\"\i{}nteresseerd in de oppervlakte van het gebied begrensd door de x-as, de grafiek van f en de lijnen x=a en x=b. We spreken wel van de oppervlakte onder de grafiek van f over het interval van a naar b of de oppervlakte onder de grafiek van f tussen a en b. Het woordje ``onder'' moet je ruim opvatten. Als de f negatief is zit het gebied juist boven de grafiek.

De Riemann som.

Om deze oppervlakte te berekenen, benaderen we het gebied met een aantal, liefst dunne, rechthoekige stroken. Alle stroken zijn even breed. Het aantal stroken heet n. De breedte van de stroken is \Delta=\frac{b-a}{n}. De hoogte van de stroken wordt bepaald door de grafiek van f.

Er zijn twee soorten stroken. De eerste soort is zodanig dat de stroken precies onder de grafiek van f passen. Door het juiste punt s_i op de x-as te kiezen geldt dan dat de hoogte van de i-de strook precies gelijk is aan f(s_i). De totale oppervlakte van de stroken is dan gelijk aan

\sum_{i=1}^n f(s_i)\Delta.
Deze som noemen we een ondersom. Als we de oppervlakte onder de grafiek van f tussen a en b noteren als O, dan geldt:
O\geq\sum_{i=1}^n f(s_i)\Delta.

De tweede soort stroken is zodanig dat de stroken precies boven de grafiek van f passen. Kies hier een punt t_i op de x-as zodat geldt dat de hoogte van de i-de strook precies gelijk is aan f(t_i). De totale oppervlakte van deze stroken is dan gelijk aan

\sum_{i=1}^n f(t_i)\Delta.
Deze som noemen we een bovensom. Er geldt:
O\leq\sum_{i=1}^n f(s_i)\Delta.

Zowel de boven- als de ondersom zijn voorbeelden van een Riemann som, en kunnen als benadering van de oppervlakte O worden gebruikt. Maar we zijn niet tevreden met een benadering, we willen O exact berekenen. Daartoe maken we n groot. In het applet kun je dit doen door de schuifregelaar voor het aantal stroken (=n) naar rechts te schuiven. Je ziet nu het volgende;

Het applet kan slechts een beperkt aantal stroken tekenen (niet meer dan 100), maar als je het aantal stroken naar oneindig zou laten naderen, zou je merken dat er iets bijzonders gebeurt: de ondersom en de bovensom gaan steeds meer op elkaar lijken. Sterker nog: het is mogelijk om te bewijzen dat de limieten voor de ondersom en de bovensom aan elkaar gelijk zijn! Omdat O altijd tussen ondersom en bovensom in ligt, moet O dan ook gelijk zijn aan deze limiet.

De limietwaarde voor onder- en bovensom noemen we de integraal van f over het interval [a,b]. Soms spreken we ook van de bepaalde integraal. Je noteert de integraal als

\int_a^b f(x)dx.
Belangrijk is dat je steeds bedenkt dat een integraal een getal is.

Voor positieve continue functies is deze integraal gelijk aan de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van f tussen a en b. Maar Riemann sommen kun je ook berekenen van functies die niet strikt positief zijn. Als een strook van bijvoorbeeld een ondersom onder de x-as zit, is het product f(s_i)\Delta negatief. De oppervlakte van deze strook is dan -f(s_i)\Delta. De eigenschap dat O tussen onder- en bovensom in ligt gaat dan niet meer op. Je kunt dit zelf proberen door de coëfficiënten van f zodanig te veranderen dat de grafiek deels onder de x-as terecht komt.

Ondanks het feit dat O niet meer tussen onder- en bovensom in ligt, bestaan de limieten voor de onder- en bovensommen als n naar oneindig nadert. Bovendien zijn de limieten aan elkaar gelijk. Deze gezamenlijke limiet heet dan nog steeds de integraal van f over [a,b], die we weer noteren als \int_a^b f(x)dx.

We zullen later bestuderen wat het verband is precies tussen de integraal en de oppervlakte onder de grafiek van f tussen a en b .