TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Hoofdstelling van de calculus

De integraalfunctie.

Gegeven is een continue functie f(x) gedefinieerd op een interval [a,b]. De (bepaalde) integraal \int_a^b f(x)dx van f over het interval [a,b] is gedefinieerd als de limiet van de onder- en bovensommen. Als f positief is op [a,b], dan is de integraal gelijk aan de oppervlakte van het gebied begrensd door de x-as, de grafiek van f en de lijnen x=a en x=b. De getallen a en b heten de ondergrens en bovengrens van de integraal. De functie f noem je ook wel de integrand.

Op deze pagina leer je hoe je een bepaalde integraal daadwerkelijk kunt berekenen. Hiervoor kijk je naar een getal u in het interval [a,b]. De integraal \int_a^u f(x)dx kun je opvatten als de oppervlakte onder de grafiek van f over het interval van a naar u. Deze oppervlakte hangt af van het getal u, en je kan de oppervlakte dus ook als functie schrijven. Noem deze functie g, dan

g(u)=\int_a^u f(x)dx.

De gevraagde oppervlakte is dan gelijk aan g(b). Er geldt ook: g(a)=0. Deze eigenschap zullen we later nog goed kunnen gebruiken.

De afgeleide van de integraalfunctie.

Om te achterhalen wat g voor een functie is gaan we hem differentiëren. Daarvoor beschouwen we een getal du, en we berekenen de oppervlakte O onder de grafiek van f over het interval van u naar u+du. Deze oppervlakte is per definitie gelijk aan \int_u^{u+du} f(x)dx. Aan de andere kant is O ook te benaderen met de oppervlakte van een rechthoek, zeker als du klein is. In de figuur hierboven gebruiken we de rechthoek met hoekpunten (u,0), (u+du,0), (u,f(u)) en (u+du,f(u)). Deze rechthoek heeft breedte du en hoogte f(u), dus de oppervlakte O is bij benadering gelijk aan

O\approx f(u)\cdot du.
De benadering wordt overigens beter naarmate du klein wordt.

Het gebied onder de grafiek van f begrensd door de lijnen x=a en x=u+du kunnen we opdelen in twee gebieden: één gebied tussen x=a en x=u, en een gebied tussen x=u en x=u+du. Hieraan zien we dat

\int_a^{u+du}f(x)dx= \int_a^u f(x)dx+\int_u^{u+du}f(x)dx.
Dit kan je ook als volgt schrijven:
g(u+du)=g(u)+O.
We zien dus dat
O=g(u+du)-g(u)
Maar we hebben ook gezien dat O te benaderen is met f(u)\cdot du, dus we hebben
g(u+du)-g(u)\approx f(u)\cdot du,
dus
\frac{g(u+du)-g(u)}{du}\approx f(u).
Nu laten we du naar nul naderen. Het linkerlid nadert naar de afgeleide van g. De benadering van de oppervlakte O door f(u)\cdot du wordt beter naarmate du kleiner wordt, met als resultaat dat je ``\approx'' mag vervangen door een gelijk-teken.
g^{\prime}(u)=f(u).

Deze verbazingwekkende gelijkheid is ontdekt door niemand minder dan Isaac Newton. De gelijkheid is zo belangrijk dat hij bekend staat onder de naam Hoofdstelling van de Calculus.