TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De bepaalde integraal

Gegeven is een continue functie f(x) gedefinieerd op een interval [a,b]. We willen de integraal \int_a^b f(x)dx uitrekenen. De functie g(u) is gedefinieerd als de oppervlakte onder de grafiek van f over het interval van [a,u]:

g(u)=\int_a^u f(x)dx.
Er geldt:

De hoofdstelling van de Calculus zegt dat g^\prime=f. Een functie g met de eigenschap dat g^\prime=f noemen we een primitieve van f. Het bepalen van een functie g zodat g^\prime=f noemen we dan ook primitiveren. Probleem is dat er een heleboel primitieven van f bestaan. Immers, als g^\prime=f, dan is (g+c)^\prime=f voor iedere constante~c. Het blijkt dat dit ook de enige primitieven van f zijn: alle primitieven verschillen een constante. Dit volgt uit het feit dat f continu is op [a,b], maar bewijzen we niet.

Welke constante moeten we nu kiezen? Om dat te bepalen gebruiken we de eigenschap g(a)=0.

Stel we hebben een primitieve F van f bepaald, met ander woorden: F^\prime=f. Er is een constante c is zodat g(x)=F(x)+c. Omdat g(a)=0, moet ook gelden F(a)+c=0, dus c=-F(a), en dus

g(x)=F(x)-F(a).
De gevraagde oppervlakte is gelijk aan g(b), dus aan F(b)-F(a). Met andere woorden:
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

Werkwijze Om de integraal \int_a^b f(x)dx te bepalen doen we het volgende:
Voorbeeld

Opgave: bereken de oppervlakte onder de grafiek van x^2 over het interval van 0 naar 1.

Gevraagd is dus de integraal \int_a^b x^2dx. Eerst bepalen we een primitieve van de functie x^2. We weten dat de afgeleide van x^n gelijk is aan nx^{n-1}, dus een primitieve van x^2 moet een derde macht van x zijn. Maar als je x^3 differentieert krijg je 3x^2. Daarom moet je als primitieve van x^2 niet x^3 nemen, maar \frac{1}{3}x^3!

We hebben dus een primitieve F(x)=\frac{1}{3}x^3. Vul nu achtereenvolgens 1 en 0 in in F:

F(1)=\textstyle\frac{1}{3}\cdot1^3=\textstyle\frac{1}{3},
en
F(0)=\textstyle\frac{1}{3}\cdot0^3=0.
Trek de resultaten van elkaar af: F(1)-F(0)=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.

We kunnen dit ook als volgt opschrijven:

\int_0^1x^2dx=F(1)-F(0)=\textstyle\frac{1}{3}-0=\textstyle\frac{1}{3}.

Eigenlijk willen we de notatie F voor de primitieve van f niet gebruiken. Daarom maken we gebruik van de verkorte notatie

\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a),
en vervangen F door de formule voor de primitieve zelf.

Voorbeeld

Opgave: bereken de oppervlakte onder de grafiek van x^2 over het interval van 0 naar 1.

\int_0^1x^2dx=\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{3}\cdot1^3-\textstyle\frac{1}{3}\cdot0^3= \textstyle\frac{1}{3}-0=\textstyle\frac{1}{3}.

Voorbeeld

Opgave: bereken de oppervlakte onder de grafiek van x^2 over het interval van 0 naar 1.

\int_0^1x^2dx=\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{3}\cdot1^3-\textstyle\frac{1}{3}\cdot0^3= \textstyle\frac{1}{3}-0=\textstyle\frac{1}{3}.

Voorbeeld

Opgave: bereken de oppervlakte onder de grafiek van x^7 over het interval van 1 naar 2.

\int_1^2x^7dx=\left[\textstyle\frac{1}{8}x^8\right]_1^2=\textstyle\frac{1}{8}\cdot2^8-\textstyle\frac{1}{8}\cdot1^8= \displaystyle\frac{256}{8}-\displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{255}{8}=31\textstyle\frac{7}{8}.