TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Integraal en oppervlakte

Gegeven is een continue functie f(x) gedefinieerd op een interval [a,b]. De integraal \int_a^b f(x)dx is gedefinieerd als de limiet van Riemann sommen. Als f positief is op [a,b], dan is de integraal gelijk aan de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van f tussen a en b. Maar als f niet strict positief is op [a,b] klopt dit niet. Dit komt omdat in de Riemann sommen negatieve termen ontstaan, terwijl oppervlakten niet negatief kunnen zijn.

Bovendien klopt de uitspraak ``onder de grafiek van f'' niet meer. Immers, het gebied waarvan je de oppervlakte wilt weten bevindt zich boven de grafiek van f, als deze grafiek onder de x-as ligt. In het applet is het gebied waarvan je de oppervlakte berekent lichtblauw gekleurd.

We gaan nu een truukje uithalen: we berekenen de integraal van |f(x)|. Deze functie krijg je door de delen van de grafiek van f die onder de x-as vallen te spiegelen om de x-as. In het applet kun je dit doen door de zwarte shuifknop naar beneden te bewegen.

Merk nu op dat de oppervlakte die je wilt berekenen niet verandert door het spiegelen. Met andere woorden: de oppervlakte van het gebied ``onder'' de grafiek van f is gelijk aan de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van |f|. Maar f is een positieve continue functie, en dus is de oppervlakte van het gebied onder de grafiek van |f| gelijk aan de integraal van |f| over het interval [a,b]. We hebben dus de volgende stelling:

De oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van een continue functie f en de lijnen x=a en x=b is gelijk aan \int_a^b|f(x)|dx.
Voorbeeld

Bereken de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van x^3 tussen x=-1 en x=1. De integraal \int_{-1}^1x^3dx levert een onverwacht resultaat:

\int_{-1}^1x^3dx=\left[\textstyle\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^1= \textstyle\frac{1}{4}\cdot1^4-\textstyle\frac{1}{4}(-1)^4=\textstyle\frac{1}{4}-\textstyle\frac{1}{4}=0.
Als je de oppervlakte wilt bepalen moet je dan ook de integraal \int_{-1}^1|x^3|dx berekenen. Dit doe je door het gebied te splitsen in twee delen. Voor het gedeelte rechts van de y-as geldt
\int_0^1|x^3|dx=\int_0^1x^3dx=\left[\textstyle\frac{1}{4}x^4\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{4}\cdot1^4-\textstyle\frac{1}{4}\cdot0^4=\textstyle\frac{1}{4}.
En voor het gedeelte links van de y-as geldt
\int_{-1}^0|x^3|dx=\int_{-1}^0-x^3dx=\left[-\textstyle\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^0= -\textstyle\frac{1}{4}\cdot0^4+\textstyle\frac{1}{4}(-1)^4=\textstyle\frac{1}{4}.
De gevraagde oppervlakte is dus gelijk aan \textstyle\frac{1}{4}+\textstyle\frac{1}{4}=\textstyle\frac{1}{2}.