TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Het splitsen van integralen

Een handige regel is de splitsingsregel:

Stel f is een continue functie op het interval [a,b], en stel p is een getal in het interval [a,b]. Dan geldt
\int_a^bf(x)dx=\int_a^pf(x)dx+\int_p^bf(x)dx.
Als f positief is op [a,b] is deze regel duidelijk. Het komt er dan op neer dat je het gebied onder de grafiek van f tussen a en b verdeelt in twee delen waarvan je de oppervlakte apart berekent. Als f niet positief is op [a,b], dan moet je kijken naar de definitie van de integraal als limiet van Riemann sommen. Hoe je dan de slitsingsregel bewijst behandelen we hier niet.

Merk op dat p gelijk mag zijn aan bijvoorbeeld a. In dat geval komt de integraal \int_a^a f(x)dx in het rechterlid voor. We spreken af dat deze integraal gelijk is aan 0. Door deze afspraak blijft de splitsingregel onverminderd geldig.

Een andere handige afspraak is de volgende:

\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx.
Daardoor kunnen we de splitsingsregel algemeen toepassen op ieder getal p, dus ongeacht of p in het interval [a,b] ligt of niet.
Voorbeeld

We gaan aantonen dat \int_0^1f(x)dx=\int_0^7f(x)dx+\int_7^1f(x)dx. Hiertoe passen we de splitsingsregel toe op \int_0^7f(x)dx:

\int_0^7f(x)dx=\int_0^1f(x)dx+\int_1^7f(x)dx,
dus
\int_0^1f(x)dx=\int_0^7f(x)dx-\int_1^7f(x)dx=\int_0^7f(x)dx+\int_7^1f(x)dx.

De splitsingsregel is met name handig als je stuksgewijs gedefinieerde functies moet integreren.

Voorbeeld

Bereken \int_{-1}^1|x|dx. Omdat |x|=x voor positieve x en |x|=-x voor negatieve x, ligt het voor de hand om de integraal te slpitsen bij 0:

\int_{-1}^1|x|dx=\int_{-1}^0|x|dx+\int_0^1|x|dx=\int_{-1}^0-xdx+\int_0^1xdx= \left[-\textstyle\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0+\left[\textstyle\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=
-\textstyle\frac{1}{2}0^2+\textstyle\frac{1}{2}(-1)^2+\textstyle\frac{1}{2}1^2-\textstyle\frac{1}{2}0^2= \textstyle\frac{1}{2}+\textstyle\frac{1}{2}=1.