TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De som- en verschilregel

Omdat primitiveren het omgekeerde is van differentiëren kun je de regels voor differentiëren ook gebruiken bij integreren. Eén zo'n regel is de som-regel: (F(x)+G(x))^\prime=F^\prime(x)+G^\prime(x). Gevolg is dat als F een primitieve is van f, en G is een primitieve van g, dan is F+G een primitieve van f+g. Voor de integraal hebben we een vergelijkbare somregel:

\int_a^b f(x)+g(x)dx=\left[F(x)+G(x)\right]_a^b=(F(b)+G(b))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=\int_a^b f(x)dx+\int_a^b g(x)dx.
Je kunt deze regel ook als volgt lezen:
De integraal van de som van twee functies is gelijk aan de som van de integralen van de functies.
Het omgekeerde geldt natuurlijk ook:
De som van de integralen van twee functies is gelijk aan de integraal van de som van de functies.

Voorbeeld

Bereken \int_0^1 x^2+e^xdx.

Splits de integraal in twee integralen door toepassen van de somregel:

\int_0^1 x^2+e^xdx=\int_0^1 x^2dx+\int_0^1 e^xdx.
Bereken beide integralen apart:
\int_0^1 x^2dx=\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{3}
en
\int_0^1 e^xdx=\left[e^x\right]_0^1=e-1.
Combineer beide deelresultaten:
\int_0^1 x^2+e^xdx=\textstyle\frac{1}{3}+e-1=e-\textstyle\frac{2}{3}.

Als je dit omslachtig vindt kun je ook gebruiken dat als \textstyle\frac{1}{3}x^3 een primitieve is van x^2, en e^x een primitieve van e^x, dat dan \textstyle\frac{1}{3}x^3+e^x een primitieve is van x^2+e^x. De berekening gaat dan als volgt:

\int_0^1 x^2+e^xdx=\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3+e^x\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{3}+e^1-(0+e^0)=e-\textstyle\frac{2}{3}.

De verschilregel luidt als volgt:

\int_a^b f(x)-g(x)dx=\int_a^b f(x)dx-\int_a^b g(x)dx.
Je leidt hem op dezelfde manier af als de somregel.

Voorbeeld

Bereken \int_0^3(x+1)(x-1)dx.

Werk eerst de haakjes weg:

\int_0^3(x+1)(x-1)dx=\int_0^3x^2-1dx
Een primitieve van x^2 is \textstyle\frac{1}{3}x^3, en een primitieve van 1 is x. Door gebruik te maken van de verschilregel krijg je
\int_0^3(x+1)(x-1)dx=\int_0^3x^2-1dx=\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3-x\right]_0^3= (\textstyle\frac{1}{3}\cdot3^3-3)-(\textstyle\frac{1}{3}\cdot0^3-0)= (3^2-3)-0=6.

De som- en verschilregel kun je uitbreiden naar willekeurig veel termen.

Voorbeeld

Bereken \int_0^1x^3+x^2+x+1dx.

Primitiveer de termen x^3, x^2, x en 1 ieder apart. De primitieven zijn \textstyle\frac{1}{4}x^4, \textstyle\frac{1}{3}x^3, \textstyle\frac{1}{2}x^2 en x. Tel al deze primitieven bij elkaar op:

\int_0^1x^3+x^2+x+1dx= \left[\textstyle\frac{1}{4}x^4+\textstyle\frac{1}{3}x^3+\textstyle\frac{1}{2}x^2+x\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{4}+\textstyle\frac{1}{3}+\textstyle\frac{1}{2}+1=\textstyle\frac{25}{12}.