TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Integralen en constanten

Omdat primitiveren het omgekeerde is van differentiëren kun je de regels voor differentiëren ook gebruiken bij integreren. Eén zo'n regel is de constante-regel: (cF(x))^\prime=c\cdot F^\prime(x) voor een constante c. Gevolg is dat als F een primitieve is van f, dan is cF een primitieve van cf. Voor de integraal hebben we een vergelijkbare constante-regel:

\int_a^b cf(x)dx=\left[cF(x)\right]_a^b=cF(b)-cF(a)=c(F(b)-F(a))=c\left[F(x)\right]_a^b=c\int_a^b f(x)dx.
Je kunt deze regel ook als volgt lezen:
Een constante factor in de integrand mag je vóór het integraalteken zetten.
Het omgekeerde geldt natuurlijk ook:
Een constante factor voor het integraalteken mag je voor de integrand zetten.

Voorbeeld

Bereken 3\int_{-1}^1 x^2dx. De afgeleide van x^3 is 3x^2, dus we zetten de constante 3 in de integrand:

3\int_{-1}^1 x^2dx=\int_{-1}^1 3x^2dx=\left[x^3\right]_{-1}^1=1^3-(-1)^3=1+1=2.
Een andere manier gaat als volgt: de afgeleide van x^3 is 3x^2, dus een primitieve van x^2 is \frac{1}{3}x^3.
3\int_{-1}^1 x^2dx=3\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^1= 3\left(\textstyle\frac{1}{3}\cdot1^3-\textstyle\frac{1}{3}(-1)^3\right)=3\left(\textstyle\frac{1}{3}+\textstyle\frac{1}{3}\right)= 3\cdot\textstyle\frac{2}{3}=2.
Je ziet: het resultaat is hetzelfde, maar de eerste methode is minder schrijfwerk.

Een andere plaats waar constanten vaak optreden, is in het argument van functies, dus bij uitdrukkingen van de vorm f(cx). Stel F is een primitieve van f, dan is \frac{1}{c}F(cx) een primitieve van f(cx). Controleer dit zelf door \frac{1}{c}F(cx) te differentiëren. Denk aan de kettingregel!

Voorbeeld

Bereken \int_0^{\pi/4}\cos(2x)dx. De afgeleide van \sin(x) is \cos(x), dus een primitieve van \cos(2x) is \textstyle\frac{1}{2}\sin(2x). Controleer dit door \textstyle\frac{1}{2}\sin(2x) te differentiëren. De integraal bereken je dan als volgt:

\int_0^{\pi/4}\cos(2x)dx=\left[\textstyle\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4}= \textstyle\frac{1}{2}\left[\sin(2x)\right]_0^{\pi/4}=\textstyle\frac{1}{2}\left(\sin(\pi/2)-\sin(0)\right)= \textstyle\frac{1}{2}(1-0)=\textstyle\frac{1}{2}.
Merk op dat we de constante \textstyle\frac{1}{2} buiten de blokhaken hebben gezet. Als je de afleiding van de constante-regel naleest zie je dat dit is toegestaan.

Het rekenen met constanten doe je bij voorkeur uit je hoofd. Goed kunnen manipuleren met constanten is belangrijk. Je krijgt dit alleen onder de knie als je veel oefent.

Voorbeeld

Bereken \int_0^1\sqrt{2x}dx.

Om deze integraal te kunnen berekenen moet je gebruik maken van het feit dat \sqrt{x}=x^{1/2}. Een primitieve van \sqrt{x} is F(x)=\textstyle\frac{2}{3}x^{3/2}. Een primitieve van \sqrt{2x} is dus \textstyle\frac{1}{2}F(2x)=\textstyle\frac{1}{2}\cdot\textstyle\frac{2}{3}(2x)^{3/2}=\textstyle\frac{1}{3}(2x)^{3/2}, dus

\int_0^1\sqrt{2x}dx=\left[\textstyle\frac{1}{3}(2x)^{3/2}\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{3}\left[(2x)^{3/2}\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{3}\left(2^{3/2}-0\right)=\textstyle\frac{1}{3}\cdot2\sqrt{2}=\textstyle\frac{2}{3}\sqrt{2}.

Het gebruik van de notatie F kun je vermijden door gebruik te maken van de ``correctiemethode''. Bij deze methode maak je gebruik van het feit dat je weet dat de primitieve van (2x)^{1/2} op een constante factor na gelijk is aan (2x)^{3/2}. Differentiëren van (2x)^{3/2} levert 2\cdot\textstyle\frac{3}{2}(2x)^{1/2}=3(2x)^{1/2}=3\sqrt{2x} (de factor 2 komt van het gebruik van de kettingregel). Dit is een factor 3 te groot, dus de gezochte primitieve is niet (2x)^{3/2} maar éénderde deel daarvan: \textstyle\frac{1}{3}(2x)^{3/2}. Je ``corrigeert'' het antwoord dus met een factor \textstyle\frac{1}{3}.

Een derde methode krijg je door gebruik te maken van de gelijkheid \sqrt{2x}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}:

\int_0^1\sqrt{2x}dx= \int_0^1\sqrt{2}\cdot\sqrt{x}dx= \sqrt{2}\int_0^1 x^{1/2}dx= \sqrt{2}\left[\textstyle\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1= \textstyle\frac{2}{3}\sqrt{2}\left(1^{3/2}-0\right)= \textstyle\frac{2}{3}\sqrt{2}.