TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Even en oneven functies

Definitie

De grafiek van een even functie is symmetrisch ten opzichte van de y-as. Dat wil zeggen, dat als je de grafiek van f spiegelt ten opzichte van de y-as, je dezelfde grafiek krijgt. Voorbeelden van even functies: alle constante functies, \sin(x) en x^2.

De grafiek van een oneven functie is symmetrisch ten opzichte van de oorsprong. Als je de grafiek van f spiegelt ten opzichte van de oorsprong krijg je dezelfde grafiek. Voorbeelden van oneven functies: lineaire functies (functies waarvan de grafiek een lijn door (0,0) is), \cos(x) en x^3.

Stelling

Bij het integreren van even en oneven functies kun je soms gebruik maken van een handige regel. Dit gebeurt als het integratieinterval symmetrisch is om 0, dus als het van de vorm [-a,a] is.

Bewijs Stel F is een primitieve van f. Dan is -F(-x) een primitieve van f(-x). Zie ook `Integralen en constanten'.

Vooral de regel over oneven functies is handig: je hoeft in dat geval niet eens een berekening te maken:

Voorbeeld

Bereken \int_{-1}^1xe^{x^4}dx. De functie f(x)=xe^{x^4} is oneven:

f(-x)=(-x)e^{(-x)^4}=-xe^{x^4}=-f(x).
Het integratiegebied is symmetrisch rond 0, dus
\int_{-1}^1xe^{x^4}dx=0.

Hoewel je bij even functies het integratiegebied halveert, blijft er altijd iets te integreren over. De ondergrens 0 levert wel een vereenvoudigde bereking tijdens het invullen.

Voorbeeld

Bereken \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos(x)dx.

De cosinus is een even functie: \cos(-x)=\cos(x), dus

\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos(x)dx=2\int_0^{\pi/3}\cos(x)dx=2\left[\sin(x)\right]_0^{\pi/3}= 2\left(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)-\sin(0)\right)=2\left(\textstyle\frac{1}{2}\sqrt{3}-0\right)=\sqrt{3}.