TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De integratievariabele

In de formule \int_a^b f(x)dx speelt de variabele x geen enkele rol. De integraal hangt alleen af van de functie f en de grenzen a en b. We zouden een integraal ook kunnen noteren als \int_a^b f. Waarom we dit niet doen wordt pas duidelijk in de pagina die gaat over de methode van substitutie. Daar maken we namelijk expliciet gebruik van de de inetgratievariabele x en de wat vreemd ogende d.

Hoewel je de integratievariabele niet mag weglaten, mag je hem wel vervangen door een andere letter. De waarde van de integraal verandert daardoor niet. Pas daarbij wel op dat je geen letter gebruikt die al een andere rol is toebedeeld. Maar verder kun je kiezen wat je wilt. Vervang alle voorkomens van je integratievariabele.

Voorbeeld

Het volgende is toegestaan, en verandert de waarde niet:

\int_0^\pi 2x^4-\sin(x)dx=\int_0^\pi 2u^4-\sin(u)du.

Men noemt variabelen zoals x wel dummy variabelen. Je schrijft ze wel, maar ze zijn er eigenlijk niet.

Als een integraal meerdere variabelen bevat moet je extra uitkijken. Vervang je integratievariabele niet door een reeds bestaande variabele, dit verandert de waarde van de integraal.

Voorbeeld

Bereken \int_0^1rxdx.

De variabele r wordt tijdens het berekenen van de integraal beschouwd als constant.

\int_0^1rxdx=r\int_0^1xdx=r\left[\textstyle\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\textstyle\frac{1}{2}r(1^2-0^2)=\textstyle\frac{1}{2}r.
De variabele x kunnen we vervangen door iedere letter, behalve door de letter r! Stel dat we alle x-en vervangen door r dan krijg je
\int_0^1rxdx=\int_0^1r\cdot rdr=\int_0^1r^2dr= \left[\textstyle\frac{1}{3}r^3\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{3}.

Een belanrijke eigenschap is dat na berekening van een integraal, de integratievariabele niet in het antwoord voorkomt.

Voorbeeld

\int_a^brxdx=r\int_a^bxdx=r\left[\textstyle\frac{1}{2}x^2\right]_a^b=\textstyle\frac{1}{2}r(b^2-a^2).
Het antwoord bevat géén x.

Het feit dat de integratievariabele een dummy-variabele is speelt een belangrijke rol bij de integraalfunctie.