TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De integraalfunctie

Definitie

Gegeven zijn een continue functie f en een getal a. De integraalfunctie van f is gedefinieerd als de functie

F(x)=\int_a^x f(t)dt

We zijn de integraalfunctie al tegengekomen bij het bewijs van de hoofdstelling van de calculus. De integraalfunctie is een primitieve van f. Verder geldt F(a)=0.

Merk op dat we als integratievariabele de letter t hebben gekozen, omdat we de letter x willen gebruiken als argument van de functie. Na berekening van de integraal komt de dummy t niet meer voor, maar x wel. De uitdrukking \int_a^x f(t)dt hangt dus van x af, en niet van t!

Voorbeeld

De integraalfunctie van f(x)=x^2 bij ondergrens a=0 is gedefinieerd als

F(x)=\int_0^x t^2dt

In dit voorbeeld kunnen we de integraalfunctie gewoon uitrekenen:

F(x)=\int_0^x t^2dt=\left[\textstyle\frac{1}{3}t^3\right]_0^x=\textstyle\frac{1}{3}x^3.

Voorbeeld

Bereken de afgeleide van g(x)=\int_0^{x^2}t^2dt.

We geven twee manieren. Voor de eerste methode beginnen we met het expliciet bepalen van de integraal:

g(x)=\int_0^{x^2}t^2dt=\left[\textstyle\frac{1}{3}t^3\right]_0^{x^2}= \textstyle\frac{1}{3}(x^2)^3=\textstyle\frac{1}{3}x^6.
Differentiëren geeft
g^\prime(x)=2x^5.

De andere methode maakt gebruik van de integraalfunctie F(x)=\int_0^x t^2dt. Merk op dat g(x)=F(x^2), en met behulp van de kettingregel leid je af:

g^\prime(x)=2xF^\prime(x^2)=2xf(x^2)=2x\cdot(x^2)^2=2x^5.

De truuk is dat je de integraal niet hoeft te berekenen.

Voorbeeld

Bereken de afgeleide van g(x)=\int_0^{x\sqrt{x}}e^{t^2}dt.

Van de primitieven van de functie e^{x^2} kun je bewijzen dat deze niet zijn uit te drukken in standaardfuncties. Geen nood: definieer F(x)=\int_0^x e^{t^2}dt, dan is g(x)=F(x\sqrt{x})=F(x^{3/2}), en

g^\prime(x)=\textstyle\frac{3}{2}x^{1/2}F^\prime(x^{3/2})= \textstyle\frac{3}{2}\sqrt{x}e^{(x^{3/2})^2}= \textstyle\frac{3}{2}\sqrt{x}e^{x^3}.