TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De onbepaalde integraal

Definitie

Met de onbepaalde integraal \int f(x)dx geef je een primitieve van f aan.

De onbepaalde integraal noteer je als een integraal zonder boven- en ondergrens. Als je een onbepaalde integraal berekent hoef je dus alleen te primitiveren.

Als f continu is, is de primitieve van f op een constante na bepaald. Om dit aan te geven tel je bij je primitieve een niet nader omschreven constante c op. Deze constante heet de integratieconstante.

Voorbeeld

\int xdx=\textstyle\frac{1}{2}x^2+c.

Als de onbepaalde integraal bekend is kun je deze direct gebruiken bij het berekenen van bepaalde integralen. De integratieconstante mag je dan weglaten.

Voorbeeld

Er geldt

\int xe^{x^2}dx=\textstyle\frac{1}{2}e^{x^2}+c.
Controleer dit door het rechterlid naar x te differentiëren (denk aan de kettingregel). Gebruik deze primitieve voor het berekenen van bepaalde integralen, maar laat de integratieconstante weg:
\int_0^1 xe^{x^2}dx=\left[\textstyle\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{2}\left[e^{x^2}\right]_0^1= \textstyle\frac{1}{2}(e^{1^2}-e^{0^2})= \displaystyle\frac{e-1}{2}.
Als je een primitieve met integratieconstante zou hebben gebruikt was het resultaat niet anders geworden. Deze constante verdwijnt namelijk tijdens de berekening. Het levert wel meer schrijfwerk op:
\int_0^1 xe^{x^2}dx=\left[\textstyle\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1= \left(\textstyle\frac{1}{2}e^{1^2}+c\right)-\left(\textstyle\frac{1}{2}e^{0^2}+c\right)= \textstyle\frac{1}{2}e+c-\textstyle\frac{1}{2}-c= \textstyle\frac{1}{2}e-\textstyle\frac{1}{2}= \displaystyle\frac{e-1}{2}.

Merk op dat bij onbepaalde integralen de integratievariabele in het eindresultaat zit. Dit betekent dat de integratievariabele in een onbepaalde integraal géén dummy variabele is. We sommen de verschillen tussen bepaalde en onbepaalde integraal nog eens op.
Bepaalde integraal Onbepaalde integraal
\int_a^b f(x)dx \int f(x)dx
is een getal is een functie
ligt vast ligt vast op een constante na
x is een dummy hangt van x af