TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Afschatten van integralen

Het afschatten van integralen speelt een belangrijke rol in de theorie van de oneigenlijke integralen. Voordat we daar dan ook op in gaan moeten we eerst een aantal basisvaardigheden onder de knie krijgen.

Afschatten gebeurt met ongelijkheden. Voor bepaalde integralen geldt de monotonieregel:

Stelling

Gegeven zijn twee reële functie f en g, beide continu is op [a,b]. Als geldt dat f(x)\leq g(x) voor alle a\leq x\leq b, dan

\int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b g(x)dx.

Voor een bewijs moet je teruggaan naar de definitie van de bepaalde integraal als limiet van Riemann sommen. We gaan hier verder niet op in.

Voorbeeld

Geef een bovengrens voor \int_1^e\ln(x)dx.

Er geldt

\ln(x)\leq x-1
voor alle x>0. Dus geldt volgens de monotonieregel
\int_1^e\ln(x)dx\leq\int_1^e x-1dx=\left[\textstyle\frac{1}{2}x^2-x\right]_1^e= \textstyle\frac{1}{2}e^2-e+\textstyle\frac{1}{2}\approx1.47625.
We hebben afschatting gemaakt zonder \ln(x) te primitiveren.

Stelling

Als een reële functie f continu is op [a,b], dan geldt

\left|\int_a^b f(x)dx\right|\leq\int_a^b\left|f(x)\right|dx.

Bewijs Voor alle x geldt
-\left|f(x)\right|\leq f(x)\leq\left|f(x)\right|,
Door twee keer de monotonieregel toe te passen krijg je
\int_a^b-\left|f(x)\right|dx\leq\int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b\left|f(x)\right|dx,
oftewel
-\int_a^b\left|f(x)\right|dx\leq\int_a^b f(x)dx\leq\int_a^b\left|f(x)\right|dx.
Voorbeeld

De integraal \int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x^2+1)\sin(x)dx kun je afschatten door op te merken dat |\sin(x)|\leq1 voor alle x, dus

|(x^2+1)\sin(x)|\leq |x^2+1|=x^2+1.
Dan geldt
\left|\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(x^2+1)\sin(x)dx\right|\leq \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left|(x^2+1)\sin(x)\right|dx\leq \int_{-\pi/2}^{\pi/2}x^2+1dx= 2\int_0^{\pi/2}x^2+1dx= 2\left[\textstyle\frac{1}{3}x^3+x\right]_0^{\pi/2}=\pi+\displaystyle\frac{\pi^3}{12}\approx5.72545.
De tweede ongelijkheid is een toepassing van de monotonieregel. Merk verder op dat we bij het berekenen van de integraal van x^2+1 gebruik hebben gemaakt van het feit dat deze functie even is. Zie ook `Even en oneven functies'.