TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Oneigenlijke integralen van type 2

Een oneigenlijke integraal van type 2 is een integraal waarbij f niet continu is in één van de randpunten van het integratiegebied. Een voorbeeld van zo'n discontinu\"\i{}teit is een verticale asymptoot.

Definitie

Stel f is continu op [a,b). Dan is

\int_a^b f(x)dx=\lim_{t\uparrow b}\int_a^t f(x)dx,
mits deze limiet bestaat.

Definitie

Stel f is continu op (a,b]. Dan is

\int_a^b f(x)dx=\lim_{u\downarrow a}\int_u^b f(x)dx,
mits deze limiet bestaat.

Definitie

Een oneigenlijke integraal heet convergent als de limiet die in de definitie voorkomt, bestaat. Een oneigenlijke integraal heet divergent als de limiet niet bestaat.

Voorbeeld

De integraal \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx is convergent:

\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx= \lim_{u\downarrow 0}\int_u^1 x^{-1/2}dx= \lim_{u\downarrow 0}\left[2x^{1/2}\right]_u^1= \lim_{u\downarrow 0}2\left[\sqrt{x}\right]_u^1= 2\lim_{u\downarrow 0}1-\sqrt{u}=2.

Voorbeeld

De integraal \int_0^1\frac{1}{x}dx is divergent:

\int_0^1\frac{1}{x}dx= \lim_{u\downarrow 0}\int_u^1 \frac{1}{x}dx= \lim_{u\downarrow 0}\left[\ln(x)\right]_u^1= \lim_{u\downarrow 0}\ln(1)-\ln(u)= \lim_{u\downarrow 0}-\ln(u).
Deze limiet bestaat niet.