TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Oneigenlijke integralen

In het algemeen zullen de punten waar een functie niet continu is, of de grensen -\infty of \infty niet precies op de grens van et integratiegebied liggen. Ook kunnen er meer dan één van dergelijke punten optreden. In zo'n geval moet je het integratieinterval zodanig opdelen dat iedere deelintegraal van type 1 of van type 2 is.

Definitie

Een oneigenlijke integraal heet convergent als alle deelintegralen convergent zijn. De waarde van de integraal is dan de som van alle deelresultaten. Een oneigenlijke integraal heet divergent als er tenminste één divergente deelintegraal is.

Voorbeeld

Bereken \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx.

Deze integraal heeft twee oneindige grenzen. Splits de integraal als volgt:

\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx= \int_{-\infty}^0\frac{1}{x^2+1}dx+ \int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx.
Beide deelintegralen zijn convergent:
\int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx= \lim_{M\rightarrow\infty}\int_0^M\frac{1}{x^2+1}dx= \lim_{M\rightarrow\infty}\left[\arctan(x)\right]_0^M= \lim_{M\rightarrow\infty}\arctan(M)-\arctan(0)= \frac{\pi}{2},
en
\int_{-\infty}^0\frac{1}{x^2+1}dx= \lim_{N\rightarrow-\infty}\int_N^0\frac{1}{x^2+1}dx= \lim_{N\rightarrow-\infty}\left[\arctan(x)\right]_N^0= \lim_{N\rightarrow-\infty}\arctan(0)-\arctan(N)= \frac{\pi}{2}.
De totale integraal is dan
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx= \int_{-\infty}^0\frac{1}{x^2+1}dx+ \int_0^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx= \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi.

Voorbeeld

De integraal \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x}dx is divergent. Strikt genomen moet het integratiegebied worden opgedeeld in vier delen: (-\infty,-1], [-1,0), (0, 1] en [1,\infty). Op geen van de deelintervallen is de integraal van 1/x convergent. Zie de voorbeelden in `Oneigenlijke integralen van type 1' en `Oneigenlijke integralen van type 1'.

Voorbeeld

Ga na of de integraal

\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx
convergent dan wel divergent is.

De volgende berekening is fout:

\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx=\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1=-\frac{1}{1}-(-\frac{1}{-1})=-2.
Dit mag niet, omdat het integratiegebied [-1,1] een verticale asymptoot bij x=0 bevat. De integraal moet gesplitst worden bij x=0:
\int_{-1}^1\frac{1}{x^2}dx= \int_{-1}^0\frac{1}{x^2}dx+\int_0^1\frac{1}{x^2}dx.
De deelintegraal op [0,1] is divergent:
\int_0^1\frac{1}{x^2}dx= \lim_{u\downarrow0}\int_u^1 x^{-2}dx= \lim_{u\downarrow0}\left[-x^{-1}\right]_u^1= \lim_{u\downarrow0}-\displaystyle\frac{1}{1}-(-\displaystyle\frac{1}{u})= \lim_{u\downarrow0}\displaystyle\frac{1}{u}-1
bestaat niet. Ook de deelintegraal op [-1,0] is divergent.