TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Machtsfuncties

Definitie

Een machtsfunctie is een functie van de vorm x^\alpha, met \alpha een reëel getal.

Voor iedere \alpha\neq-1 geldt

\int x^\alpha dx=\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+c.
Deze gelijkheid is envoudig te verifiëren door het rechterlid naar x te differentiëren.

Voorbeeld

\int\sqrt{x}dx=\int x^{1/2}dx=\textstyle\frac{1}{3/2}x^{3/2}+c=\textstyle\frac{2}{3}x^{3/2}+c.

De functie \sqrt{x} is gedefinieerd voor x\geq0. Bij het berekenen van de onbepaalde integraal wordt dat er niets steeds bij vermeld. Als je een bepaalde integraal moet berekenen is dat natuurlijk wel belangrijk.

Voorbeeld

\int_0^1\sqrt{x}dx=\int_0^1x^{1/2}dx=\left[\textstyle\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1= \textstyle\frac{2}{3}\left[x^{3/2}\right]_0^1= \textstyle\frac{2}{3}(1-0)=\textstyle\frac{2}{3}.

Als de exponent \alpha negatief is treedt er een ander probleem op. De functie x^\alpha heeft dan een verticale asymptoot bij x=0. Als het integratiegebied het getal 0 bevat hebben we te maken met een oneigenlijke integraal. Zie ook `Oneigenlijke integralen van type 2'.

Voor de onbepaalde integraal is er ook een probleem. Neem als voorbeeld de functie f(x)=1/x^2. Deze functie is gedfinieerd voor alle x\neq0. Een primitieve F van 1/x^2 ziet er als volgt uit:

F(x)=\left\{\begin{array}{ll} -\frac{1}{x}+c_1 \mbox{als x>0,} -\frac{1}{x}+c_2 \mbox{als x<0,} \end{array}\right.
voor twee constanten c_1 en c_2. Primitieven zijn dus bepaald op twee constanten na.

Het gedrag van integralen van de functie x^\alpha hangt af van de waarde van \alpha. Het omslagpunt zit bij \alpha=-1.

Stelling

Het voorbehoud dat \alpha\leq-1 of \alpha\geq1 wordt gemaakt omdat de functie x^\alpha mogelijk niet gedefinieerd is als x<0 en -1<\alpha<1. Denk maar aan het geval \alpha=\textstyle\frac{1}{2}, dan x^\alpha=\sqrt{x}.