TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De integraal van 1/x

De onbepaalde integraal van een machtsfunctie levert bijna altijd weer een machtsfunctie op. Er is één uitzondering. De primitieve van 1/x is niet een machtsfunctie. Omdat de afgeleide van \ln(x) gelijk is aan 1/x zou je de natuurlike logaritme als primitieve van 1/x kunnen kiezen.

Er is echter een probleem: \ln(x) is niet gedefinieerd voor negatieve x. Dit kun je oplossen door als primitieve de volgende functie F te nemen:

F(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln(x) \mbox{als x>0,} \ln(-x) \mbox{als x<0.} \end{array}\right.
Met behulp van de kettingregel ga je eenvoudig na dat voor alle x\neq0 geldt dat F^\prime(x)=1/x.

De functie F(x) is in feite gelijk aan \ln(|x|). Soms schrijven we slordig \ln|x|. In veel boeken zie je dan ook de volgende formule:

\int\displaystyle\frac{1}{x}dx=\ln|x|+c.
Ook hier treedt het probleem op dat primitieven niet op een constante na bepaald zijn, maar op twee constanten na, dus
F(x)=\left\{\begin{array}{ll} \ln(x)+c_1 \mbox{als x>0,} \ln(-x)+c_2 \mbox{als x<0,} \end{array}\right.
met constanten c_1 en c_2. Zie ook voorbeeld ??? in `Machtsfuncties'.

Bij het berekenen van een bepaalde integraal van 1/x moet je weer oppassen, omdat deze integraal oneigenlijk kan worden. Dit gebeurt als 0 in het integratiegebied zit, of als \infty of -\infty één van de integratiegrenzen is. Als dit gebeurt is het resultaat steeds een divergente integraal.