TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De differentiaal

De uitdrukking dx die voorkomt in de notatie \int_a^bf(x)dx heet een differentiaal. Het opschrijven van deze differentiaal lijkt een nutteloze tijd- en ruimte verspilling, maar dat is het zeker niet. Het gebruik van de differentiaal komt pas tot zijn recht bij het gebruik van de substitutieregel en bij het partieel integreren.

Een differentiaal bestaat uit de letter d gevolgd door een variabele. We leggen niet uit wat een differentiaal precies is, maar geven wel de meest karakteristieke eigenschap. Als er een verband bestaat tussen twee variabelen x en y, bestaat er namelijk ook een verband tussen de bijbehorende differenialen.

Definitie

Stel y is een functie van x, volgens functievoorschrift y=f(x). Als f een differentieerbare functie is, dan geldt

dy=f^\prime(x)dx.

Voorbeeld

Stel y=\sin(x), dan is dy=\cos(x)dx.

Het verband ``dy=f^\prime(x)dx'' tussen de differentialen kun je eenvoudig onthouden door het volgende ezelsbruggetje:

Gebruik de ouderwetse uitdrukking dy/dx voor de afgeleide van f:
\displaystyle\frac{dy}{dx}=f^\prime(x).
Doe net alsof dy/dx een breuk is, en vermenigvuldig linker en rechterlid met dx:
dy=f^\prime(x)dx.

Voorbeeld

Uit y=\sin(x) volgt dat x=\arcsin(y). Differentiëren levert

\displaystyle\frac{dx}{dy}=\displaystyle\frac{d\arcsin(y)}{dy}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-y^2}},
dus
dx=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}dy.
Dit laatste schrijft men ook wel als
\displaystyle\frac{dy}{\sqrt{1-y^2}}.

De differentiaal wordt soms slordig gebruikt. We lichten dit toe met een voorbeeld:

Voorbeeld

Stel y=\sin(x), dan is de officiële notatie voor het verband tussen dy en dx:

dy=\cos(x)dx.
Bij de slordige notatie wordt het gebruik van de variabele y compleet vermeden, en schrijf je
d\sin(x)=\cos(x)dx.

Bij de slordige notatie staat er dus eigenlijk df(x)=f^\prime(x)dx. Merk het volgende op:

Een functie f die rechts van de d staat mag je links van de d zetten, maar dan moet je f differentiëren.

Deze regel kun je natuurlijk ook omdraaien. Stel F is een primitieve van f, dus f=F^\prime. De slordige notatie toegepast op F luidt nu:

dF(x)=F^\prime(x)dx=f(x)dx,
dus
f(x)dx=dF(x).
We zien dus:
Een functie f die links van de d staat mag je rechts van de d zetten, maar dan moet je f primitiveren.
Deze regel blijkt de sleutel te zijn tot het goed kunnen manipuleren van integralen. Hij illustreert bovendien goed het feit dat primitiveren het omgekeerde is van differentiëren.