TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De substitutieregel

De substitutieregel is een regel waarmee je integralen kunt berekenen waarvan de integrand van de vorm f(g(x))g^\prime(x) is.

Stelling

Stel F is en primitieve van f, dan geldt

\int_a^bf(g(x))g^\prime(x)dx=[F(g(x))]_a^b=F(g(b))-F(g(a)).

Het bewijs is eenvoudig: differentieer F(g(x)). Met de kettingregel en het gegeven dat F^\prime=f volgt dan eenvoudig dat F(g(x)) een primitieve is van de integrand.

Het probleem zit hem er in dat je moet herkennen wat de functies f en g zijn. Dat moet je zelf doen. Er zijn geen standaardmethoden die je vertellen hoe je dat moet doen, alleen wat richtlijnen. De substitutieregel krijg je alleen onder de knie door veel te oefenen. We lichten de substitutieregel toe met een aantal voorbeelden.

Voorbeeld

Bereken \int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx.

Eerst bepaal je de functie g. In de integrand moeten zowel g als de afgeleide g^\prime voorkomen. Een goede kandidaat voor g(x) is \sin(x), want de afgeleide van \sin(x) is \cos(x). Dus probeer g(x)=\sin(x). Herschrijf de integraal:

\int_0^{\pi/2}g^\prime(x)e^{g(x)}dx.
Hieraan zie je dat f(y)=e^y. Als je y vervangt door g(x)=\sin(x) krijg je de factor f(g(x))=e^{\sin(x)}. Dit verklaart meteen de naam substitutieregel. Een primitieve van f is F(x)=e^x. De berekening gaat dan als volgt:
\int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx= \int_0^{\pi/2}g^\prime(x)e^{g(x)}dx= \int_0^{\pi/2}f(g(x))g^\prime(x)dx= \left[F(g(x))\right]_0^{\pi/2}= \left[e^{\sin(x)}\right]_0^{\pi/2}= e^{\sin(\pi/2)}-e^{\sin(0)}= e^1-e^0=e-1.

Soms moet je wat met constanten rommelen om alles precies goed te krijgen.

Voorbeeld

Bereken \int_0^{\sqrt{\pi/2}}x\cos\left(x^2\right)dx.

Het ligt voor de hand om g(x)=x^2 en f(y)=\cos(y) te kiezen. De afgeleide van g(x) is echter niet x maar 2x. Omdat dit een constante factor scheelt kun je dit eenvoudig repareren:

\int_0^{\sqrt{\pi/2}}x\cos\left(x^2\right)dx= \textstyle\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{\pi/2}}2x\cos\left(x^2\right)dx.
Nu klopt alles: f(g(x))g^\prime(x)=2x\cos(x^2), dus
\int_0^{\sqrt{\pi/2}}x\cos\left(x^2\right)dx= \textstyle\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{\pi/2}}2x\cos\left(x^2\right)dx= \textstyle\frac{1}{2}\left[\sin(x^2)\right]_0^{\sqrt{\pi/2}}= \textstyle\frac{1}{2}\left(\sin(\pi/2)-\sin(0)\right)=\textstyle\frac{1}{2}.

Een veel voorkomende situatie is een integraal van de vorm \int_a^bf(x+q)dx, met een constante q. Kies g(x)=x+q. De afgeleide van g is g^\prime(x)=1, dus je kunt hier van de substitutieregel gebruik maken.

Voorbeeld

Bereken \int_2^{10}\sqrt{x-1}dx.

Kies g(x)=x-1 en f(y)=\sqrt{y}=y^{1/2}, dan g^\prime(x)=1 en F(y)=\textstyle\frac{2}{3}y^{3/2}.

\int_2^{10}\sqrt{x-1}dx= \textstyle\frac{2}{3}\left[F(g(x))\right]_0^{10}= \textstyle\frac{2}{3}\left[(x-1)^{3/2}\right]_0^{10}= \displaystyle\frac{52}{3}.

Soms moet je de integrand eerst herschrijven voordat je de substitutieregel kunt toepassen. We geven een voorbeeld waarin je tevens ziet hoe je de substitutieregel toepast bij onbepaalde integralen.

Voorbeeld

Bereken \int\tan(x)dx.

Er geldt \tan(x)=\sin(x)/\cos(x). Definieer g(x)=\cos(x) en f(y)=1/y, dan is de integrand gelijk aan -g^\prime(x)f(g(x)). Dit scheelt een factor -1 die je moet corrigeren. Als primitieve van f(y) nemen we \ln(y).

\int\tan(x)dx= \int\displaystyle\frac{\sin(x)}{\cos(x)}dx= -\int F(g(x))g^\prime(x)dx= -F(g(x))+c= -\ln(\cos(x))+c.