TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Substitutie en differentialen

De substitutieregel komt pas goed tot zijn recht als je gebruik maakt van differentialen. We herhalen de substitutieregel:

Stelling

Stel F is en primitieve van f, dan geldt

\int_a^b f(g(x))g^\prime(x)dx=[F(g(x))]_a^b=F(g(b))-F(g(a)).

Als we y=g(x) schrijven, geldt voor de bijbehorende differentialen dy=g^\prime(x)dx. Dit betekent dat we de substitutieregel ook als volgt kunnen schrijven:

Stelling

Stel F is en primitieve van f, dan geldt

\int_a^b f(g(x))g^\prime(x)dx= \int_{g(a)}^{g(b)} f(y)dy= [F(y)]_{g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a)).

Door de substitutie y=g(x) ga je over van integratievariabele x naar integratievariabele y. Als gevolg hiervan moet je de integratiegrenzen aanpassen. Als je dit vergeet gaat het mis!

Voorbeeld

Bereken \int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx.

Definieer y=g(x)=\sin(x). Dan dy=g^\prime(x)dx=\cos(x)dx.

Pas ook de grenzen aan. Als x=0, dan is y=g(0)=\sin(0)=0. Als x=\pi/2, dan y=g(\pi/2)=\sin(\pi/2)=1.

\int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx= \int_0^{\pi/2}e^{\sin(x)}\cos(x)dx= \int_0^1 e^ydy= \left[e^y\right]_0^1= e-1.

Als je de grenzen vergeet aan te passen krijg je een verkeerd antwoord:

\int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx\neq \int_0^{\pi/2} e^ydy= \left[e^y\right]_0^{\pi/2}= e^{\pi/2}-1.

Je kunt de substitutieregel aanpassen met extra geheugenstuentjes. Deze herinneren je eraan dat je de grenzen niet moet vergeten aan te passen:

\int_{x=a}^b f(g(x))g^\prime(x)dx= \int_{y=g(a)}^{g(b)} f(y)dy= [F(y)]_{y=g(a)}^{g(b)}=F(g(b))-F(g(a)).

Voorbeeld

Hetzelfde voorbeeld \int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx, maar nu met geheugensteuntjes:

\int_{x=0}^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx= \int_{y=0}^1 e^ydy= \left[e^y\right]_{y=0}^1= e-1.

Voor differentialen hebben we de `slordige notatie' dg(x) in plaats van dy ingevoerd. Deze notatie kun je ook gebruiken in de substitutieregel.

\int_a^b f(g(x))g^\prime(x)dx= \int_a^b f(g(x))dg(x)= [F(g(x))]_a^b=F(g(b))-F(g(a)).

Let er op dat je nu de grenzen niet aanpast, omdat de integratievariabele niet verandert. Deze blijft tijdens de hele berekening gelijk aaan x.

Voorbeeld

Bereken \int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx:

\int_0^{\pi/2}\cos(x)e^{\sin(x)}dx= \int_0^{\pi/2}e^{\sin(x)}\cos(x)dx= \int_0^{\pi/2}e^{\sin(x)}d\sin(x)= \left[e^{\sin(x)}\right]_0^{\pi/2}= e^{\sin(\pi/2)}-e^{\sin(0)}= e-1.

De `slordige' variant van de substitutieregel is lastig in het gebruik, omdat je de uitdrukking g(x) eigenlijk moet opvatten als een nieuwe integratievariabele: y=g(x). Je gebruikt de substitutieregel zonder de substitutie expliciet uit te voeren. Daarom spreken we wel van impliciete substitutie.