TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Expliciete substitutie

De substitutieregel is gebaseerd op het feit dat je een uitdrukking g(x) kunt vinden die in de integrand voorkomt, terwijl ook de afgeleide van g (als factor) in de integrand voorkomt. Dat laatste wil nog wel eens een probleem vormen. Geen nood: als de factor g^\prime(x) kun je de substitutieregel toch toepassen. Alleen moet je de ontbrekende factor dan wel corrigeren. Hoe je dat moet doen lichten we toe aan de hand van enkele voorbeelden.

Voorbeeld

Bereken de integraal \int_{-1}^1\displaystyle\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx.

Een voor de hand liggende substitutie is y=g(x)=e^x, omdat dan e^{-x}=y^{-1}. De factor g^\prime(x)=e^x ontbreekt. We schrijven dy=e^xdx=ydx. Deel linker- en rechterlid door y, dan dx=1/ydy. Let er op dat je de grenzen aanpast (gebruik geheugensteuntjes):

\int_{x=-1}^1\displaystyle\frac{1}{e^x+e^{-x}}dx= \int_{y=1/e}^e\displaystyle\frac{1}{y+y^{-1}}\displaystyle\frac{1}{y}dy= \int_{y=1/e}^e\displaystyle\frac{1}{y^2+1}dy= \left[\arctan(y)\right]_{y=1/e}^e= \arctan(e)-\arctan\left(\frac{1}{e}\right).

Een veel voorkomende situatie is een integrand met een deelexpressie van de vormf(px+q), met constanten p\neq0 en q.

Voorbeeld

Bereken de integraal \int_{-2}^6 x\sqrt{\displaystyle\frac{x}{2}+1}dx.

Het obstkel in deze integraal is de wortelvorm. Maar onder het wortelteken zit de eenvoudige uitdrukking \displaystyle\frac{x}{2}+1. Gebruik de substitutie y=\displaystyle\frac{x}{2}+1. Dan x=2(y-1) en dx=2dy. Voor de grenzen geldt: als x=-2 dan y=0, en als x=6, dan y=4.

\int_{x=-2}^6 x\sqrt{\displaystyle\frac{x}{2}+1}dx= \int_{y=0}^4 2(y-1)\sqrt{y}\cdot2dy= 4\int_{y=0}^4 (y-1)\sqrt{y}dy= 4\int_{y=0}^4 y^{3/2}-y^{1/2}dy=
4\left[\textstyle\frac{2}{5}y^{5/2}-\textstyle\frac{2}{3}y^{3/2}\right]_{y=0}^4= 4\left(\textstyle\frac{2}{5}2^5-\textstyle\frac{2}{3}2^3\right)= \displaystyle\frac{448}{15}.