TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Partiëel integreren

Partieel integreren is een methode waarmee je integralen kunt berekenen waarvan de integrand een factor van de vorm g^\prime(x) bevat. De functie g(x) is dan een primitieve van deze factor.

Stelling

\int_a^b f(x)g^\prime(x)dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b g(x)f^\prime(x)dx.

Het bewijs van deze regel berust op de productregel voor differentiëren. We behandelen het bewijs hier niet.

De methode van partieel integreren is eigenlijk alleen goed hanteerbaar als je de `slordige' notatie voor differentialen gebruikt.

\int_a^b f(x)dg(x)=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b g(x)df(x).
Voorbeeld

Bereken \int_0^1 (2x+1)e^xdx.

De factor e^x is eenvoudig te primitiveren:

\int_0^1 (2x+1)e^xdx= \int_0^1 (2x+1)de^x= \left[(2x+1)e^x\right]_0^1-\int_0^1 e^xd2x+1= 3e-1-2\int_0^1 e^xdx= 3e-1-2\left[e^x\right]_0^1= 3e-1-2(e-1)=e+1.

Partieel integreren herleid de integraal tot een andere, hopelijk beter hanteerbare integraal. Of dit zo is, kun je alleen achterhalen door te proberen. Soms maak je de zaak alleen maar erger.

Voorbeeld

Bereken \int_0^1 (2x+1)e^xdx.

Je kunt ook de factor 2x+1 primitiveren; (2x+1)dx=d(x^2+x).

\int_0^1 (2x+1)e^xdx= \int_0^1 e^xd(x^2+x)= \left[(x^2+x)e^x\right]_0^1-\int_0^1 (x^2+x)e^xdx.

Hoewel dit wiskundig volkomen correct is, is de integraal alleen maar moeilijker geworden.