TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Proposities

Een propositie is een uitspraak die waar of onwaar is. Denk hierbij aan zinnen als: ``een koe is een zoogdier'' of: ``een kat is een geleedpotige''. Van deze twee zinnen kun je wel bedenken welke waar is en welke niet. Een zin als ``ik vind wiskunde leuk'' is geen proposities.

De waarden ``waar'' en ``onwaar'' noemen we waarheidswaarden. Ze worden in de logica genoteerd met 1 (waar) en~0 (onwaar). Andere notaties die je ook wel tegenkomt zijn ``true'' en ``false'', of ``T'' en ``F''.

Er zijn ook uitspraken waarvan je niet direct kan nagaan of ze waar zijn of niet, bijvoorbeeld omdat er onbekenden in voorkomen, zoals: ``x is een reptiel''. Pas nadat voor x de naam van een dier is ingevuld weet je of de uitspraak waar is of niet. Dergelijke uitspraken heten predicaten. Zie ook predicatenlogica. De wiskunde zit vol met predicaten. De vergelijking 2x+1=0 is een predicaat.

De propositielogica houdt zich bezig met de studie van de proposities. Om deze studie makkelijker te maken worden proposities vaak vorgesteld met één enkele letter, dus p in plaats van ``de functie f is differentieerbaar in~0''. In de propositielogica weet je dus niet meer van een propositie dan dat het een propositie is. Het lijkt er op dat er dan niets meer te bestuderen valt, maar dat is niet zo!

Logica kun je op veel niveau's bedrijven, van tamelijk intuïtief tot buitengewoon abstract. Wij gaan op deze pagina's niet verder dan wat men ook wel aanduidt met ``informele logica''. Als je voldoende inzicht in de logica hebt verworven om de belangrijkste basisonderwerpen van de wiskunde te begrijpen, ben je al een heel eind.

Opmerking

Een uitspraak als ``x\neq x'' lijkt op het eerste gezicht geen propositie (of juister gezegd: geen predicaat), maar er is niets mis mee. Het is gewoon een onware bewering, wat je ook voor x invult. Veel erger wordt het als je uit een ware bewering kunt afleiden dat dezelfde bewering onwaar is. Een dergelijke bewering wordt een paradox genoemd. Een voorbeeld is de paradox van Epimenides, een Griekse filosoof die leefde in de zesde eeuw voor Christus. Epimenides, zelf een bewoner van Kreta, beweerde dat alle bewoner van Kreta leugenaars zijn.

Opmerking

In de logica hebben beweringen maar twee waarheidswaarden: waar en onwaar. Er bestaan ook systemen waarin meer waarden voorkomen, zoals de driewaardige logica van Jan Lukasiewicz. Hierin komt ook de waarde ``onbepaald'' of U (van Unknown) voor.

Er bestaat ook nog een logisch systeem waarin alle getallen op het interval [0,1] als waarheidswaarde voor kunnen komen. Dit systeem staat bekend onder de naam vage logica of fuzzy logic.

Opmerking

In computertalen wordt veel met waarheidswaarden gewerkt. Daarvoor beschikken ze over booleans. Dit zijn variabelen die één van de waarheidswaarden true en false kunnen hebben. Deze waarden worden per taal vaak verschillend genoteerd. In Java bijvoorbeeld True, maar in Pascal TRUE. In C bestaan geen echte waarheidswaarden, maar gebruikt men getallen. Daar is de afspraak dat 0 staat voor `onwaar'. Iedere waarde ongelijk 0 wordt opgevat als `waar'.