TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Verzamelingen beschrijven

Een eindige verzameling kun je beschrijven door de elementen op te sommen. Voor oneindige verzamelingen gaat dit niet. Uiteraard kun je een verzameling vastelggen in woorden, bijvoorbeeld:

O is de verzameling van oneven natuurlijke getallen.
Voor ingewikkelde verzamelingen wordt zo'n omschrijving lang en vaak moeilijk leesbaar. Voor O kun je ook als volgt te werk gaan:
O=\{1,3,5,7,\ldots\}.
De puntjes suggereren dat de elementen van O de oneindige rij vormen van alle oneven getallen, beginnende bij~1.

De schrijfwijze met puntjes is informeel, en kan, indien misplaatst gebruikt, al gauw aanleiding geven tot verwarring. Ook werkt de methode niet bij verzamelingen die niet opsombaar zijn, zoals de verzameling van reële getallen. Beter is de methode waarbij gebruik gemaakt wordt van een predicaat.

Definitie

Een predicaat is een logische bewering die afhangt van één of meer variabelen.

De uitdrukking
x>0
is een voorbeeld van een predicaat. De uitdrukking is een bewering, want ze is waar of onwaar. De variabele is in dit geval x.

Verzamelingen kun je met een predicaat vastleggen met de volgende notatie:

\{x\in U|p(x)\}
De uitdrukking p(x) is een predicaat met variabele x, en de verzameling \{x|p(x)\} bevat alle elementen x in U die het predicaat p waar maken. De verzameling U is een grote verzameling die het universum wordt genoemd. Je kiest het universum zo groot dat alles wat je aan het bestuderen bent er in zit. De verzameling van alle positieve reële getallen kun je bijvoorbeeld als volgt definiëren:
\{x\in{\mathbb R}|x>0\}

Vaak zie je de notatie zonder vermelding van een universum, bijvoorbeeld

\{x|x>0\}.
Dit kan problemen opleveren als niet duidelijk is wat het universum is. Als je bezig bent met gehele getallen, dan beschrijft deze verzameling met de getallen 1,2,3,\ldots, hetgeen toch echt een andere verzameling is dan \{x\in{\mathbb R}|x>0\}. Vermeld bij twijfel altijd expliciet een universum.

Er is een variant op de schrijfwijze met predicaten. Stel je wilt de verzameling van kwadraten van natuurlijk getallen beschrijven, dus de verzameling met elementen 0,1,4,9,16,25,\ldots. Dan doe je dit het handigst als volgt:

\{x^2|x\in{\mathbb N}\}
De algemene vorm is
\{f(x)|p(x)\}
Rechts van de vertikale streep staat weer een predicaat in één of andere variabele, maar links van de streep staat een functie van die variabele. Meestal beschrijft het predicaat uit welke verzameling de variabele moet worden gekozen. Het universum zit dan verpakt in p.

Het gebruik van de variabele bij de schrijfwijze met predicaten is uitermate handig, maar leidt vaak tot verwarring. Dit komt omdat de variabele buiten de accolades geen betekenis heeft. Je kunt de variabele dan ook ongestraft vervangen door een andere letter, mits je dit doet met alle voorkomens van de variabele. De verzameling \{x\in{\mathbb R}|x>0\} is precies dezelfde verzameling als \{a\in{\mathbb R}|a>0\}. De variabele die in het predicaat wordt gebruikt noemt men ook wel een gebonden variabele.

Opmerking

De studie van de predicaten vormt een apart vak dat predicatenlogica heet. Zoals blijkt uit de hier gegeven beschouwing is de predicatenlogica nauw verweven met de verzamelingenleer.

Voorbeeld

Stel je wilt de verzameling O van oneven natuurlijke getallen beschrijven. In veel gevallen volstaat de informele schrijfwijze met puntjes:

O=\{1,5,7,9,\ldots\}
Wil je een precieze beschrijving, dan kun je gebruik maken van de mod-operator, die de rest berekent bij deling door 2, dus 5\mbox{ mod }2=1 en 6\mbox{ mod }2=0. De schrijfwijze
O=\{n|n\mbox{ mod }2=1\}
is gevaarlijk, omdat de mod-operator ook op negatieve getallen werkt (bijvoorbeeld -3\mbox{ mod }2=1). Beter is
O=\{n\in{\mathbb N}|n\mbox{ mod }2=1\}.
Ook mogelijk is
O=\{n|n\in{\mathbb N}\mbox{ en }n\mbox{ mod }2=1\}.
Het universum zit dan verstopt in het predicaat rechts van de vertikale streep. Het kan ook anders, namelijk met een functie:
O=\{2n+1|n\in{\mathbb N}\}.
Tot slot: het gebruik van de letter n als naam van de variabele is arbitrair. Als je een andere letter wilt gebruiken mag dat:
O=\{2k+1|k\in{\mathbb N}\}.