TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Gelijkheid van verzamelingen

Verzamelingen worden volledige bepaald door hun elementen. Twee verzamelingen zijn gelijk als ze dezelfde elementen hebben. Het doet er niet toe in welke volgorde ze in de beschrijving staan. Dus

\{2,3,1\}=\{1,2,3\}.
Ook doet het er niet toe of een element één keer of meerdere keren in de beschrijving voorkomt:
\{1,2,2,2,2,3\}=\{1,2,3\}.
De volgende definitie van gelijkheid is bruikbaar voor bijvoorbeeld bewijzen:
Definitie

Twee verzamelingen V en W zijn gelijk (notatie: V=W) als

Voorbeeld

Stel je wilt aantonen dat de verzamelingen

O_1=\{n\in{\mathbb N}|n\mbox{ mod }2=1\}
en
O_2=\{2k+1|k\in{\mathbb N}\}
gelijk zijn. Het bewijs bestaat uit twee delen:
  1. Ieder element van O_1 zit ook in O_2:
    Een element van O_1 is een getal n\in{\mathbb N} waarvoor geldt n\mbox{ mod }2=1. Dus: als je n geheel deelt door 2 (bijvoorbeeld met een staartdeling) dan is de rest 1. Stel het quotiënt van de deling is k, dan is k een geheel getal waarvoor geldt n=2k+1. Omdat n positief is, kan k niet negatief zijn, dus k\in{\mathbb N}. Dus n\in\{2k+1|k\in{\mathbb N}\}, oftewel: n\in O_2.
  2. Ieder element van O_2 zit ook in O_1:
    Een element van O_2 is van de vorm 2k+1 met k\in{\mathbb N}. Geheel delen van 2k+1 door 2 levert rest 1 (en quotiënt k, maar dat is hier niet relevant), dus 2k+1 voldoet aan het predicaat van O_1. Uiteraard is 2k+1 een positief geheel getal, dus 2k+1\in O_1.
Het lijkt wat overdreven om zoveel woorden vuil te maken aan iets dat zo overduidelijk waar is, maar in gecompliceerde situaties is het raadzaam om op deze manier te werk. Onthoud dus: gelijkheidsbewijzen van verzamelingen bestaan altijd uit twee delen.

Voorbeeld

Als twee verzamelingen V en W niet gelijk zijn noteer je dat op de gebruikelijke manier: V\neq W. Een verzameling V is niet leeg als ze tenminste één element bevat. Je kunt dit als volgt noteren: V\neq\emptyset. Voorbeeld:

\{\emptyset\}\neq\emptyset.
Merk op dat dit een echte ongelijkheid van twee verzamelingen is, er geldt immers dat \{\emptyset\} een element bevat dat niet in \emptyset zit.

Voorbeeld

Je zou je kunnen afvragen of er überhaupt wel verzameling V zijn waarvoor geldt \{V\}=V. Als dit waar is, geldt V\in V. In de naïeve verzamelingentheorie zoals wij die beschouwen (met een verzameling gedefinieerd als collectie welbepaalde elementen) leidt de vraag ``geldt V\in V?'' vroeg of laat tot onoverkomelijke problemen. We gaan hier niet op in. De lezer die meer wil weten kan het beste zoeken met de zoekterm Russell paradox. Voor de verzamelingen die wij in de praktijk tegen zullen komen geldt gelukkig steeds \{V\}\neq V.