TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Waarheidswaarden

Van alleen een formule zoals p\wedge(q\vee p) kun je niet na gaan of deze waar is of onwaar. Je moet eerst weten wat de waarheidswaarde is van de p en q. Daarnaast moet je weten wat de connectieven \wedge en \vee doen met waarheidswaarden. Het uitrekenen van de waarheidswaarde van een formule noemen we evalueren.

Er is een verschil tussen een formule en zijn logische waarde. Stel we definiëren r=p\wedge(q\vee p), en we berekenen dat r waar is. Dan noteren we dat als r\Leftrightarrow 1.

Het effect van connectieven geven we weer met behulp van een tabel. Hier zie je de tabel die hoort bij \neg:
p \neg p
0 1
1 0

Uit de tabel lees je af dat als p waar is, dan is \neg p onwaar, en als p onwaar is, dan is \neg p waar.

Voor de binaire connectieven zijn de tabellen iets ingewikkelder, omdat er steeds twee proposities een rol spelen. Van iedere combinatie van waarheidswaarden van p en q staat in de tabellen wat de waarheidswaarde van p\wedge q, p\vee q, p\rightarrow q en p\leftrightarrow q is.
p q p\wedge q p q p\vee q p q p\rightarrow q p q p\leftrightarrow q
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Voorbeeld

Evalueer v voor de waarheidswaarden p\Leftrightarrow1 en q\Leftrightarrow0.

Eerst vervangen we alle atomaire proposities p en q door de overeenkomstige waarheidswaarden.

p\wedge(q\vee p)\Leftrightarrow 1\wedge(0\vee 1).
Daarna reduceren we de formule stapsgewijs, gebruikmakend van bovenstaande tabellen
\begin{array}{lll} p\wedge(q\vee p) & \Leftrightarrow & 1\wedge(0\vee 1) \\ & \Leftrightarrow & 1\wedge1 \\ & \Leftrightarrow & 1 \\ \end{array}

Opmerking

Voor de p\wedge q geldt dat als p onwaar is, dan is ongeacht van de waarheidswaarde van q het resultaat onwaar. Tijdens het evalueren kun hier handig gebruik van maken: Stel p\Leftrightarrow0, dan

\begin{array}{lll} p\wedge(\ldots) & \Leftrightarrow & 0\wedge(\ldots) \\ & \Leftrightarrow & 0 \\ \end{array}
Iets dergelijks geldt ook voor \vee en 1. Stel p\Leftrightarrow1:
\begin{array}{lll} p\vee(\ldots) & \Leftrightarrow & 1\vee(\ldots) \\ & \Leftrightarrow & 1 \end{array}

Opmerking

Voor de p\wedge q geldt dat als p waar is, dan is het eindresultaat de waarheidswaarde van q. Stel p\Leftrightarrow0, dan

\begin{array}{lll} p\wedge(\ldots) & \Leftrightarrow & 1\wedge(\ldots) \\ & \Leftrightarrow & \ldots \end{array}
Je moet dan natuurlijk de waarheidswaarde van wat je overhoudt verder uitrekenen.

Opmerking

In de electrotechniek wordt veel met logische schakelingen gewerkt. Deze schakelingen hebben ingangen en uitgangen. De spanning die er op staat kan slechts twee mogelijke waarden aannemen: 0 Volt (ook wel laag genoemd) en de voedingsspanning (ook wel hoog genoemd). Als een leiding hoog is wordt dit opgevat als ``waar'', en als er geen spanning op staat (laag) wordt dit gezien als ``onwaar''. Dit noemt men ``positieve logica''. Je kunt het ook andersom definiëren: ``waar'' correspondeert met laag. Dit noem men ``negatievelogica''.

De meest eenvoudige schakelingen zijn poorten met 1 of 2 ingangen en 1 uitgang. De uitgang van de AND poort geeft alleen spanning als beide ingangen onder spanning staan. De AND poort is de electronische equivalent van het connectief \wedge. Naast de AND poort zijn er ook de OR poort (equivalent met \vee) en de NOT poort (equivalent met \neg). Deze poort heef slechts één ingang.

Voorbeeld

Stel we willen de formule (\neg p\wedge q)\vee(p\wedge\neg q) evalueren. Gegeven is p\Leftrightarrow0 en q\Leftrightarrow1. Eerst berekenen we de propositie links van \vee:

\begin{array}{lll} \neg p\wedge q & \Leftrightarrow & \neg 0\wedge q \\ & \Leftrightarrow & 1\wedge q \\ & \Leftrightarrow & q \\ & \Leftrightarrow & 1. \end{array}
Het is niet nodig de propositie rechts van \vee te evalueren:
\begin{array}{lll} (\neg p\wedge q)\vee(p\wedge\neg q) & \Leftrightarrow & 1\vee(p\wedge\neg q) \\ & \Leftrightarrow & 1. \end{array}