TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Inclusie

Definitie

Let op: in sommige (moderne) boeken kom je voor inclusie de notatie V\subseteq W tegen. In dat geval wordt het symbool \subset gereserveerd voor de echte inclusie.

Soms schrijft men W\supset V in plaats van V\subset W. Men zegt dan: W omvat V.

Als V geen deelverzameling is van W noteer je dit als V\not\subset W. In dat geval is er tenminste één element x\in V dat niet tot W behoort. Vaak zijn er meer van dit soort elementen, maar om aan te tonen dat V\not\subset W volstaat het om er één aan te wijzen.

  1. Voor iedere verzameling V geldt \emptyset\subset V.
  2. Voor iedere verzameling V geldt V\subset V. Deze eigenschap noemt men de reflexiviteit van de inclusie.
  3. Voor alle verzamelingen U, V en W geldt: als U\subset V en V\subset W dan U\subset W. Deze eigenschap noemt men de transitiviteit van de inclusie.
  4. Twee verzamelingen V en W zijn gelijk dan en slechts dan als V\subset W en W\subset V. Een gelijkheidsbewijs bestaat uit twee delen. Ieder deel bewijst één inclusie.
  5. Een verzameling V is een echte deelverzameling van W dan en slechts dan als V\subset W en W\not\subset V.
  6. Als V\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq} W dan V\subset W.
  7. Voor geen enkele verzameling V geldt V\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq} V. Deze eigenschap noemt men de antireflexiviteit van de echte inclusie.
  8. Voor alle verzamelingen U, V en W geldt: als U\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq}V en V\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq}W dan U\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq}W. De echte inclusie is dus, evenals de gewone inclusie, transitief.

Voorbeeld

\emptyset\subset\{1,2,3\}
\{1,3\}\subset\{1,2,3\}
\{1,2,3\}\subset\{1,2,3\}
\{2,3,1\}\subset\{1,2,3\}
\{1,2,2,2,2,3\}\subset\{1,2,3\}
\{1,3,4\}\not\subset\{1,2,3\}

Voorbeeld

\{1,3\}\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq}\{1,2,3\},
maar \{1,2,3\} is geen echte deelverzameling van \{1,2,3\}.

Voorbeeld

\emptyset\in\{\emptyset\}
\emptyset\subset\{\emptyset\}
\emptyset\displaystyle\mathop{\subset}_{\neq}\{\emptyset\}