TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Waarheidstabellen

Een formule kun je alleen dan evalueren als je de waarheidswaarde kent van alle propositieletters die in de formule voorkomen. In een formule komen slechts een eindig aantal van dergelijke letters voor. Elke letter kan twee waarheidswaarden aannnemen, dus zijn er eindig veel combinaties van waarheidswaarden. In de formule p\wedge(\neg q\vee r) zitten er 3, dus er zijn 2\cdot2\cdot2=8 mogelijke combinaties. Door deze combinaties in rijen onderelkaar te zetten krijg je een waarheidstabel met acht rijen:
p q r p\wedge(\neg q\vee r)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 0
1 1 1 1
Het is gebruikelijk, maar niet verplicht, om de combinaties onder p, q en r in stndaardvorm te zetten. Als je de waarheidswaarden opvat als nullen en enen, en deze tegenelkaar aan zet, krijg je de getallen 0 tot en met 7 in binaire vorm: 000=0,001=1,\ldots,111=7.

Je kunt de waarheidswaarden rij voor rij uitrekenen, maar het is vaak handiger om het kolomsgewijs te doen:
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
p q r \neg q \neg q\vee r p\wedge(5)
0 0 0 1 1 0
0 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 1

Opmerking

Voor de definitie van de logische connectieven is gebruik gemaakt van waarheidstabellen.

Opmerking

Een waarheidstabel is handig als het aantal propositieletters niet te groot is. Als het aantal letters n is heeft de waarheidstabel 2^n rijen. Een formule met 10 propositieletters heeft dus 1024 rijen. In dat geval kun je beter van andere technieken gebruik maken.

Opmerking

Hoeveel verschillende binaire connectieven zijn er? De waarheidstabel van een binair connectief bevat 4 rijen. De functionaliteit van het connectief wordt bepaald door de verdeling van 0-en en 1-en in de laatste kolom. Er zijn 2^4=16 van dergelijke verdelingen. Er zijn dus 16 verschillende binaire connectieven. Een paar daarvan komen bij de voorbeelden aan bod.

Voorbeeld

Een vaak gebruikt binair connectief is de exclusieve disjunctie of exclusieve of. Er is geen standaardnotatie voor deze of, maar de notatie \oplus kom je vaak tegen.
p q p\wedge(\neg q\vee r)
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
De exclusieve of wordt in de electrotechniek ook aangeduid met XOR.

Voorbeeld

Een in de electrotechniek veel gebruikt poort is de NAND poort. NAND betekent Not-AND. De poort is zo populair om dat ze met een minimaal aantal componenten te maken is.

In de propositielogica staat het corresponderende connectief bekend als het Sheffer-streepje, en wordt genoteerd met een \uparrow.
p q p\uparrow r
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0