TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

De machtsverzameling

Definitie

De machtsverzameling van een verzameling V is de collectie van alle deelverzamelingen van V. We noteren de machtsverzamling van V met \cal{P}(V).

Er geldt X\in \cal{P}(V) dan en slechts dan als X\subset V. De machtsverzameling van een verzameling V is nooit leeg, immers \emptyset\subset V. Verder geldt V\in\cal{P}(V).

Als V een eindige verzameling is kun je de machtsverzameling van V nog wel uitschrijven, hoewel het al gauw onbegonnen werk is. Een verzameling met 10 elementen heeft 1024 deelverzameling! Als het aantal elementen van V gelijk is aan n, dan is het aantal elementen van \cal{P}(V) gelijk aan~2^n. De machtsverzameling van een oneindige verzameling kun je alleen maar beschrijven met behulp van een predicaat.

Voorbeeld

De machtsverzameling van \{1,2,3\} is

\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}.

Voorbeeld

\cal{P}(\emptyset)=\{\emptyset\}
\cal{P}(\cal{P}(\emptyset))=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}

Voorbeeld

Een manier om de machtsverzameling van de natuurlijke getallen voor te stellen krijg je door de deelverzamelingen van \mathbb N te `coderen' met oneindige rijen bestaande uit nullen en enen. De verzameling \{0,3,4\} kun je bijvoorbeeld coderen met de rij 1,0,0,1,1,0,0,\ldots, waarbij de puntjes een oneindige rij nullen voorstelt. De verzameling der oneven getallen codeer je met 0,1,0,1,0,1,0,\ldots. Hier stellen de puntjes een rij bestaande uit afwisselend een 1 en een~0 voor. Op deze manier kun je inzien dat \cal{P}(\mathbb N) overeenkomt met de verzameling van alle oneindige rijen 0-en en 1-en.