TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Het Cartesisch product

In de schrijfwijze voor verzamelingen is de volgorde waarin elementen worden opgesomd volkomen onbelangrijk: er geldt \{2,3,1\}=\{1,2,3\}. Als je de ordening wel wil laten meetellen moet je ronde haken gebruiken: (1,2,3). We noemen een dergelijk object een geordend drietal of tripel. Door de ordening is het tripel (2,3,1) anders dan het tripel (1,2,3). Ook kan je niet zomaar elementen weglaten of toevoegen.

Definitie

Twee tupels (x_1,x_2,\ldots,x_m) en (y_1,y_2,\ldots,y_n) zijn alleen dan gelijk als

Met behulp van tupels kun je compleet nieuwe verzamelingen construeren.

Definitie

Voorbeeld

Stel A=\{p,q\} en B=\{1,2,3\}. Dan A\times B=\{(p,1),(p,2),(p,3),(q,1),(q,2),(q,3)\}.

Voorbeeld

Het Cartesisch product van \mathbb R en \mathbb R is \mathbb R\times\mathbb R=\mathbb R^2. Het bestaat uit alle paren (x,y) met x en y een reëel getal. Het wordt gebruikt als coördinatensysteem voor het platte vlak. Analoog wordt \mathbb R^3 gebruikt als coördinatensysteem voor de driedimensionale ruimte.

Voorbeeld

Voor iedere verzameling A en B geldt: A\times\emptyset=\emptyset en \emptyset\times B=\emptyset.

Voorbeeld

De naam ``product'' kan misleidend zijn. Voor getallen geldt (ab)c=a(bc), maar de Cartesische producten (A\times B)\times C=A\times(B\times C) zijn niet hetzelfde. Het geordend paar ((a,b),c) is niet gelijk aan het paar (a,(b,c)) immers: (a,b)\neq a en c\neq(b,c). Ook zijn (A\times B)\times C en A\times(B\times C) verschillend van A\times B\times C, immers (A\times B)\times C en A\times(B\times C) zijn verzamelingen bestaande uit paren, terwijl A\times B\times C bestaat uit tripels.

Toch lijken (A\times B)\times C, A\times(B\times C) en A\times B\times C zo veel op elkaar dat er vaak geen onderscheid wordt gemaakt. We zeggen dan dat (A\times B)\times C, A\times(B\times C) en A\times B\times C worden geïdentificeerd.