TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Implicaties

De implicatie ``p\rightarrow q'' heeft op het eerste gezicht een wat merkwaardige waarheidstabel. \\
p q p\rightarrow r
1 0 0 1
2 0 1 1
3 1 0 0
4 1 1 1
Om de implicatie goed te kunnen begrijpen is het belangrijk om steeds goed onderscheid te maken tussen twee situaties:

In het eerste geval weet je dus dat je in de waarheidstabel in rij 1, 2 of 4 zit. Daarmee kun je het volgende afleiden:

Uiteraard kun je een implicatie pas gebruiken als je weet dat hij waar is. Als je dit gaat doen, bedenk dan het volgende:

Definitie

Een propositie q is het logisch gevolg van p als p\rightarrow q een tautologie is. We noteren dit als p\Rightarrow q.

In de praktijk betekent dit dat in de kolom onder q meer 1-en staan dan in de kolom onder p. Met ``meer 1-en'' wordt bedoeld: overal waar bij p een 1 staat, staat bij q ook een 1.

Opmerking

De proposities (p\rightarrow q)\rightarrow r is niet logisch equivalent met p\rightarrow (q\rightarrow r). Dit zie je bijvoorbeeld met een waarheidstabel. \\
p q r (p\rightarrow q)\rightarrow r p\rightarrow (q\rightarrow r)
0 0 0 0 1
0 0 1 1 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 \\
Dit betekent dat het niet is toegstaan om de haakjes weg te laten. We zeggen ook wel: de propositie p\rightarrow q\rightarrow r is ambigu.

Opmerking

De uitdrukking (p\Rightarrow q)\Rightarrow r is zelfs betekenisloos. Het resultaat van p\Rightarrow q is namelijk geen propositie.

Voorbeeld

Stel je weet dat p\rightarrow q en q\rightarrow r waar zijn. Dan weet je dat p\rightarrow r ook waar is. Je kunt dit ook als volgt formuleren:

(p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r)\Rightarrow(p\rightarrow r).
We bewijsen met een waarheidstabel dat (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r)\rightarrow(p\rightarrow r) een tautologie is. \\ p \hline
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
q r p\rightarrow q q\rightarrow r (p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r) p\rightarrow r (6)\rightarrow(7)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Merk op dat in kolom (7) overal 1-en staan waar in kolom (6) een 1 staat (``meer 1-en''). Merk verder op dat de omgekeerde propositie (p\rightarrow r)\rightarrow(p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r) geen tautologie is, dus (p\rightarrow r)\not\Rightarrow(p\rightarrow q)\wedge(q\rightarrow r)