TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Verschil en symmetrisch verschil

Definitie

Venn diagram van A\backslash B en B\backslash A
Venn diagram van A\div B

Het verschil en het symmetrisch verschil kunnen worden gedefinieerd met behulp van de logische operaties \vee (of), \wedge (en) en \neg (niet). Zie ook het hoofdstuk over logica.

Er bestaat geen algemeen geaccepteerde notatie voor het symmetrisch verschil. Notaties die je ook vaak tegen komt zijn A\ominus B en A\Delta B. Voor het verschil kom je ook wel de notatie A-B tegen.

Verschil
1 A\backslash B=A\cap\overline{B}
2 \overline{A}=U\backslash A
3 A\backslash A=\emptyset
4 \emptyset\backslash A=\emptyset
5 A\backslash\emptyset=A
6 (A\backslash B)\backslash C=A\backslash(B\cup C)
7 A\backslash(B\cup C)=(A\backslash B)\cap(A\backslash C)
8 A\backslash(B\cap C)=(A\backslash B)\cup(A\backslash C)
9 A\backslash B en B\backslash A zijn disjunct
Symmetrisch verschil
10 A\div B=(A\backslash B)\cup(B\backslash A)
11 A\div B=(A\cup B)\backslash(A\cap B)
12 A\div B=B\div A
13 (A\div B)\div C=A\div(B\div C)
14 A\div\emptyset=A
15 A\div A=\emptyset
16 A\div\overline{A}=U
17 A\div U=\overline{A}

Net als het verschil van twee getallen a-b niet hetzelfde is als b-a, is het veschil van twee verzamelingen A\backslash B niet hetzelfde als B\backslash A. Voor het symmetrisch verschil geldt weer wel A\div B=B\div A (regel 12).

Vanwege regel 13 is het toegestaan om A\div B\div C te schrijven in plaats van (A\div B)\div C of A\div(B\div C).

Regels 9 en 10 leren ons dat het symmetrsich verschil van A en B de disjuncte vereniging van A\backslash B en B\backslash A is. Het symmetrisch verschil komt overeen met de logische operator `exclusieve of' of XOR.

A\div B=\{x|x\in A+x\in B\}.

Voorbeeld

Stel A=\{1,2,3\} en B=\{2,3,4,5,6\}. Kies als universum U=\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}, dan

A\backslash B=\{1\}
en
B\backslash A=\{4,5,6\}.
Er geldt dus A\backslash B\neq B\backslash A. Ze zijn disjunct, overeenkomstig regel 9. Ook regel 11 kun je prima verifiëren:
A\div B=\{1,4,5,6\}=\{1\}\cup\{4,5,6\}=(A\backslash B)\cup(B\backslash A).
Venn diagram van A en B