TU/e
Mike Boldy en Hans Cuypers

Predicatenlogica

Definitie

Een predicaat is een propositie die afhangt van één of meer variabelen.

Predicaten worden op dezelfde manier genoteerd als functies: p(x). Een voorbeeld van een predicaat is de bewering x>0. Als we dit predicaat de naam p willen geven, noteren we dat als
p(x)\Leftrightarrow x>0.
De waarheidswaarde van een predicaat kan alleen worden vastgesteld als bekend is wat de waarde van x is. Als bijvoorbeeld x=1 dan is p(x) waar. Je kunt ook zeggen: p(1) is waar.

Predicaten kunnen van meer dan één variabele afhangen, bijvoorbeeld

q(x,y)\Leftrightarrow x>y.
Invullen van één variabele levert nog steeds een predicaat, bijvoorbeeld q(x,0). Dit predicaat is logisch equivalent met p(x), omdat voor iedere waarde van x de waarde van p(x) en q(x,0) gelijk zijn.

Zodra de waarde van alle variabele is vastgelegd is het een propositie. Je kunt er dan de propositielogica op toepassen. Je kunt bijvoorbeeld schrijven: p(1)\wedge q(-1,0). Maar we doen dit ook bij predicaten met variabelen die geen waarde hebben. We lichten dit toe aan de hand van een voorbeeld.

Conjunctie
Stel p(x) en q(x) zijn predicaten. De conjunctie van p en q is het predicaat p\wedge q gedefineerd door
(p\wedge q)(x)\Leftrightarrow p(x)\wedge q(x).
In de praktijk komt het er op neer dat predicaten als x>0 en x<1 kunnen worden samengesteld tot een nieuw predicaat x>0\wedge x<1.

Op soortgelijke wijze kunnen we ook predicaten p(x)\vee q(x), \neg p(x) etcetera definiëren. Er gelden dezelfde eigenschappen en logische wetten als voor proposities. Zo geldt dat het predicaat p(x)\rightarrow q(x) logisch equivalent is met \neg p(x)\vee q(x).

Opmerking

Bij het samenstellen moet je goed opletten welke letters worden gebruikt. Het predicaat p(x)\wedge q(x) is een nieuw predicaat afhankelijk van x. Maar p(x)\wedge q(y) is een predicaat dat afhangt van twee variabelen: zowel x als y.

Opmerking

De variabele x van een predicaat p(x) kan allerlei waarden aannemen, bijvoorbeeld een getal, een functie of een verzameling. De bewering A\subset B is een predicaat met variabelen A en B. We zouden kunnen schrijven: p(A,B)\Leftrightarrow A\subset B. De regel: als A\subset B en B\subset B, dan A\subset C zouden we dan als volgt in predicatenlogica kunnen formuleren:

p(A,B)\wedge p(B,C)\rightarrow p(A,C).
Je zou willen dat er een ware propositie staat maar dat is helaas niet zo. Deze bewering is namelijk weer een predicaat, maar nu met drie variabelen. Er ontbreekt nog iets: een quantificatie. Dit is het onderwerp van de volgende pagina.